Question

17．已知函數(shù)f（x）=asinx+bcosx（a，b∈Z），且滿足{x|f（x）=0}={x|f（f（x））=0}，則|a|的最大值為（　�。�

• A． 1
• B． 3
• C． 4
• D． 6

Answer 1

分析 先證明b=0，再由集合相等和正弦函數(shù)的值域可得|$\frac{kπ}{a}$|＞1，解不等式結合a為整數(shù)可得．

解答 解：記A={x|f（x）=0}，B={x|f（f（x））=0}，
顯然集合A≠∅，設 x₀∈A，則f（x₀）=0，
∵A=B，∴x₀∈B，即 f（f（x₀））=0，
∴f（0）=0，∴b=0，∴f（x）=asinx，a∈Z．
①當a=0時，顯然滿足A=B；
②當a≠0時，A={x|asinx=0}；B={x|asin（asinx）=0}，
即B={x|asinx=kπ，k∈Z}，∵A=B，
∴對于任意x∈R，必有asinx≠kπ（k∈Z，且k≠0）成立，
即對于任意x∈R，sinx≠$\frac{kπ}{a}$，∴|$\frac{kπ}{a}$|＞1，
即|a|＜|k|•π，其中k∈Z，且k≠0．
∴|a|＜π，∴整數(shù)a的最大值是3
故選：B

點評 本題考查三角函數(shù)求值，涉及集合相等和分類討論的思想，屬中檔題．