Question

20．在極坐標(biāo)系中，直線l：$\left\{\begin{array}{l}x=1+t\\ y=1+2t\end{array}\right.$（t為參數(shù)）被曲線C：ρ=2cosθ所截得的線段長為$\frac{4\sqrt{5}}{5}$．

Answer 1

分析 化直線的參數(shù)方程為普通方程，化極坐標(biāo)方程為普通方程，然后聯(lián)立直線方程和圓的方程，利用弦長公式求得弦長．

解答 解：由l：$\left\{\begin{array}{l}x=1+t\\ y=1+2t\end{array}\right.$（t為參數(shù)），得y=2x-1，
由曲線C：ρ=2cosθ，得ρ²=2ρcosθ，即x²+y²-2x=0．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=2x-1}\\{{x}^{2}+{y}^{2}-2x=0}\end{array}\right.$，得5x²-6x+1=0．
設(shè)直線被圓解得弦的兩個端點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{6}{5}，{x}_{1}{x}_{2}=\frac{1}{5}$．
∴$|AB|=\sqrt{1+{2}^{2}}\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{5}•\sqrt{（\frac{6}{5}）^{2}-\frac{4}{5}}=\frac{4\sqrt{5}}{5}$．
故答案為：$\frac{{4\sqrt{5}}}{5}$．

點(diǎn)評 本題考查了簡單曲線的極坐標(biāo)方程，考查了參數(shù)方程和普通方程的互化，訓(xùn)練了弦長公式的用法，是基礎(chǔ)的計算題．