Question

15．平面直角坐標(biāo)系xOy中，向量$\overrightarrow{α}$=（2，1），$\overrightarrow{β}$=（3，λ）（λ＞0），若（2$\overrightarrow{α}-\overrightarrow{β}$）$⊥\overrightarrow{β}$，記＜$\overrightarrow{α}，\overrightarrow{β}$＞=θ，求tanθ的值．

Answer 1

分析 根據(jù)向量垂直的關(guān)系，求出λ的值，結(jié)合向量數(shù)量積的公式進(jìn)行求解即可．

解答 解：∵$\overrightarrow{α}$=（2，1），$\overrightarrow{β}$=（3，λ）（λ＞0），
∴若（2$\overrightarrow{α}-\overrightarrow{β}$）$⊥\overrightarrow{β}$，
則（2$\overrightarrow{α}-\overrightarrow{β}$）•$\overrightarrow{β}$=0，
即2$\overrightarrow{α}$•$\overrightarrow{β}$-$\overrightarrow{β}$²=0，
即2•（6-λ）-（9+λ²）=0，
即λ²+2λ-3=0，解得λ=1或λ=-3（舍），
即2|$\overrightarrow{α}$|•|$\overrightarrow{β}$|cosθ=|$\overrightarrow{β}$|²，
即cosθ=$\frac{|\overrightarrow{β}|}{2|\overrightarrow{α}|}$=$\frac{\sqrt{{3}^{2}+1}}{2\sqrt{{2}^{2}+1}}$=$\frac{\sqrt{10}}{2\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，
則θ=$\frac{π}{4}$，則tanθ=tan$\frac{π}{4}$=1．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查平面向量的應(yīng)用，根據(jù)向量垂直建立方程關(guān)系求出λ值，結(jié)合向量數(shù)量積的應(yīng)用是解決本題的關(guān)鍵．