Question

6．若a=${∫}_{-1}^{1}$$\sqrt{1-{x}^{2}}$dx，則（$\frac{a}{π}x-\frac{1}{x}$）⁶的展開式中的常數(shù)項(xiàng)與x最低次冪項(xiàng)的系數(shù)比為（　�。�

• A． $\frac{5}{2}$
• B． -$\frac{5}{2}$
• C． $\frac{3}{2}$
• D． -$\frac{3}{2}$

Answer 1

分析 利用微積分基本定理的幾何意義可得：a=${∫}_{-1}^{1}$$\sqrt{1-{x}^{2}}$dx表示以原點(diǎn)（0，0）為圓心，1為半徑的上半圓的面積，可得a=$\frac{π}{2}$．則（$\frac{a}{π}x-\frac{1}{x}$）⁶=$（\frac{x}{2}-\frac{1}{x}）^{6}$．再利用通項(xiàng)公式即可得出．

解答 解：利用微積分基本定理的幾何意義可得：a=${∫}_{-1}^{1}$$\sqrt{1-{x}^{2}}$dx表示以原點(diǎn)（0，0）為圓心，1為半徑的上半圓的面積，因此a=${∫}_{-1}^{1}$$\sqrt{1-{x}^{2}}$dx=$\frac{π}{2}$．
則（$\frac{a}{π}x-\frac{1}{x}$）⁶=$（\frac{x}{2}-\frac{1}{x}）^{6}$．
T_r+1=${∁}_{6}^{r}$$（\frac{x}{2}）^{6-r}$$（-\frac{1}{x}）^{r}$=（-1）^r$（\frac{1}{2}）^{6-r}$${∁}_{6}^{r}$x^6-2r．
分別令6-2r=0；6-2r=-6，
解得r=3；r=6．
∴展開式中的常數(shù)項(xiàng)為：T₄=$-（\frac{1}{2}）^{3}{∁}_{6}^{3}$=-$\frac{5}{2}$．
x最低次冪項(xiàng)為：T₇=x^-6．
∴則（$\frac{a}{π}x-\frac{1}{x}$）⁶的展開式中的常數(shù)項(xiàng)與x最低次冪項(xiàng)的系數(shù)比為$-\frac{5}{2}$．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了微積分基本定理的應(yīng)用、二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，考查了數(shù)形結(jié)合方法、推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．