Question

3．在△ABC中，根據(jù)下列條件，求三角形面積．
（1）c=10，A=45°，C=30°；
（2）a=$\sqrt{3}$，b=$\sqrt{2}$，B=45°．

Answer 1

分析 （1）由正弦定理可得：a=$\frac{csinA}{sinC}$．B=180°-A-C，利用S_△ABC=$\frac{1}{2}ac$sinB即可得出．
（2）由于$\sqrt{3}×sin4{5}^{°}$$＜\sqrt{2}$$＜\sqrt{3}$，因此有兩解．利用余弦定理可得：b²=c²+a²-2acsinB，解得c．利用S_△ABC=$\frac{1}{2}ac$sinB，即可得出．

解答 解：（1）由正弦定理可得：$\frac{a}{sinA}=\frac{c}{sinC}$，∴a=$\frac{csinA}{sinC}$=$\frac{10×sin4{5}^{°}}{sin3{0}^{°}}$=10$\sqrt{2}$．
B=180°-A-C=105°，
sin105°=sin（30°+45°）=$\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}$．
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}ac$sinB=$\frac{1}{2}×10\sqrt{2}×10×\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}$=$25（1+\sqrt{3}）$．
（2）∵$\sqrt{3}×sin4{5}^{°}$$＜\sqrt{2}$$＜\sqrt{3}$，因此有兩解．
由余弦定理可得：b²=c²+a²-2acsinB，
∴c²+3-$\sqrt{6}$c=2，
∴c²-$\sqrt{6}$c+1=0，
解得c=$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}$或c=$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}$．
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}ac$sinB=$\frac{\sqrt{3}+3}{4}$或$\frac{3-\sqrt{3}}{4}$．

點評 本題考查了正弦定理余弦定理的應用、三角形面積計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．