Question

18．在圖所示的幾何體中，底面ABCD為正方形，PD⊥平面ABCD，EC∥PD，且PD=AD=2EC=2，N為線段PB的中點．
（1）證明：NE⊥平面PBD；
（2）求四棱錐B-CEPD的體積．

Answer 1

分析 （1）連接AC，BD，令AC與BD交于點F，連接NF，推導出NE∥AC，求出PD⊥AC，AC⊥BD，由此能證明NE⊥平面PBD．
（2）四棱錐B-CEPD的體積${V_{B-CEPD}}=\frac{1}{3}{S_{梯形PDCE}}•BC$．由此能求出四棱錐B-CEPD的體積．

解答 證明：（1）連接AC，BD，令AC與BD交于點F，連接NF，
∵點N是中點，∴NF∥PD且$NF=\frac{1}{2}PD$．
又∵EC∥PD且$EC=\frac{1}{2}PD$，∴NF∥EC且NF=EC，
∴四邊形NFCE為平行四邊形，∴NE∥AC，
又∵PD⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，∴PD⊥AC．
∵四邊形ABCD為正方形，∴AC⊥BD．
∵PD∩BD=D，∴AC⊥平面PBD，
∴NE⊥平面PBD．
解：（2）∵PD⊥平面ABCD，PD?平面PDCE，
∴平面PDCE⊥平面ABCD，
又∵BC⊥CD，∴BC⊥平面PDCE，∴BC是四棱錐B-PDCE的高，
∵PD=AD=2EC=2，
∴${S_{梯形PDCE}}=\frac{1}{2}（PD+EC）•DC=\frac{1}{2}×（2+1）×2=3$，
∴四棱錐B-CEPD的體積${V_{B-CEPD}}=\frac{1}{3}{S_{梯形PDCE}}•BC=\frac{1}{3}×3×2=2$．

點評 本題考查線面垂直的證明，考查柱、錐、臺體的體積，考查空間想象能力與計算能力，考查推理論證能力，是中檔題．