Question

如圖，在四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，側(cè)面ADD₁A₁⊥底面ABCD，D₁A=D₁D=

2

，底面ABCD為直角梯形，其中BC∥AD，AB⊥AD，AD=2AB=2BC=2，O為AD中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：A₁O∥平面AB₁C；
（Ⅱ）求銳二面角B₁-AC-B的余弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：用空間向量求平面間的夾角,直線(xiàn)與平面平行的判定,與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題

專(zhuān)題：空間位置關(guān)系與距離,空間向量及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）連接CO，AC，由題設(shè)條件推導(dǎo)出四邊形A₁B₁CO為平行四邊形，由此能夠證明A₁O∥平面AB₁C．
（Ⅱ）以O(shè)為原點(diǎn)，OC，OD，OD₁所在直線(xiàn)分別為x軸，y軸，Z軸建立如圖所示的坐標(biāo)系，利用向量法能求出銳二面角A-C₁D₁-C的余弦值．

解答： （本小題滿(mǎn)分12分）
（Ⅰ）證明：如圖，連接CO，AC，
則四邊形ABCO為正方形，
∴OC=AB=A₁B₁，且OC∥AB∥A₁B₁
∴四邊形A₁B₁CO為平行四邊形，
∴A₁O∥B₁C，
又∵A₁O?平面AB₁C，B₁C?平面AB₁C，
∴A₁O∥平面AB₁C．…（6分）
（Ⅱ）∵D₁A=D₁D，O為AD的中點(diǎn)，
∴D₁O⊥AD，又側(cè)面ADD₁A₁⊥底面ABCD，
∴D₁O⊥底面ABCD，…（7分）
以O(shè)為原點(diǎn)，OC，OD，OD₁所在直線(xiàn)分別為x軸，y軸，Z軸，
建立如圖所示的坐標(biāo)系，
由題意得：C（1，0，0），D（0，1，0），
D₁（0，0，1），A（0，-1，0），…（8分）
∴

DC

=(1，-1，0)，

DD1

=（0，-1，1），

D1A

=（0，-1，-1），

D1C1

=（1，-1，0），
設(shè)

m

=(x，y，z)為平面CDD₁C₁的一個(gè)法向量，
則

m

⊥

DC

，

m

⊥

DD1

，∴

x-y=0 -y+z=0

，
令Z=1，則y=1，x=1，∴

m

=(1，1，1)，…（10分）
設(shè)

n

=(x1，y1，z1)為平面AC₁D₁的一個(gè)法向量，
則

n

⊥

D1A

，

n

⊥

D1C1

，∴

-y1-Z1=0 x1-y1=0

，令Z₁=1，
則y₁=-1，x₁=-1，∴

n

=(-1，-1，1)，
∴cos＜

m

，

n

＞=

-1-1+1

3 • 3

=-

1

3

，
∴所求銳二面角A-C₁D₁-C的余弦值為

1

3

．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線(xiàn)與平面平行的證明，考查二面角的余弦值的求法，解題時(shí)要注意向量法的合理運(yùn)用．