Question

18．若{a_n}的前n項和為S_n，點（n，S_n）均在函數y=$\frac{3}{2}{x^2}-\frac{1}{2}x$的圖象上．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）設${b_n}=\frac{3}{{{a_n}{a_{n+1}}}}$，T_n是數列{b_n}的前n項和，求：使得${T_n}＞\frac{m}{20}$對所有n∈N^*都成立的最大正整數m．

Answer 1

分析 （1）根據點（n，S_n）均在函數圖象上，把點坐標代入確定出S_n，由a_n=S_n-S_n-1確定出通項公式即可；
（2）根據（1）確定出b_n與T_n，根據T_n是增函數，求出T_n的最小值T₁，令$\frac{m}{20}$小于最小值，求出最大正整數m的值即可．

解答 解：（1）由題意知：S_n=$\frac{3}{2}$n²-$\frac{1}{2}$n，
當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=3n-2，
當n=1時，a₁=1，適合上式，
則a_n=3n-2；
（2）根據題意得：b_n=$\frac{3}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{3}{（3n-2）（3n+1）}$=$\frac{1}{3n-2}$-$\frac{1}{3n+1}$，T_n=b₁+b₂+…+b_n=1-$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{4}$-$\frac{1}{7}$+…+$\frac{1}{3n-2}$-$\frac{1}{3n+1}$=1-$\frac{1}{3n+1}$，
∴{T_n}在n∈N^*上是增函數，∴（T_n）_min=T₁=$\frac{3}{4}$，
要使T_n＞$\frac{m}{20}$對所有n∈N^*都成立，只需$\frac{m}{20}$＜$\frac{3}{4}$，即m＜15，
則最大的正整數m為14．

點評 此題考查了數列的求和，以及數列遞推式，熟練掌握數列的性質是解本題的關鍵．