Question

8．雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左右焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，若雙曲線右支上存在一點(diǎn)P，滿足|PF₁|=6|PF₂|，則該雙曲線離心率的最大值為$\frac{7}{5}$．

Answer 1

分析 運(yùn)用雙曲線的定義可得|PF₁|-|PF₂|=2a，由|PF₁|=6|PF₂|，可得|PF₂|=$\frac{2}{5}$a，再由雙曲線的性質(zhì)可得|PF₂|≥c-a，
解不等式結(jié)合離心率公式即可得到最大值．

解答 解：由雙曲線的定義可得|PF₁|-|PF₂|=2a，
由|PF₁|=6|PF₂|，可得
|PF₂|=$\frac{2}{5}$a，
又|PF₂|≥c-a，
即有$\frac{2}{5}$a≥c-a，可得c≤$\frac{7}{5}$a，
即有e=$\frac{c}{a}$≤$\frac{7}{5}$，
當(dāng)P為雙曲線的右頂點(diǎn)時(shí)，e取得最大值$\frac{7}{5}$．
故答案為：$\frac{7}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的離心率的最值的求法，注意運(yùn)用雙曲線的定義和雙曲線的性質(zhì)，考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．