Question

11．已知雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的半焦距為c，直線l過（c，0），（0，b）兩點(diǎn)，若直線l與雙曲線的一條漸近線垂直，則雙曲線的離心率為$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$．

Answer 1

分析 由題意便知，直線l與漸近線$y=\frac{a}x$垂直，而直線l的斜率可以求出，這樣根據(jù)相互垂直的直線斜率的關(guān)系即可得到$\frac{{c}^{2}-{a}^{2}}{ac}=1$，通過該式解出$\frac{c}{a}$即可．

解答 解：根據(jù)題意知，直線l與雙曲線的漸近線y=$\frac{a}x$垂直；
直線l的斜率為$-\frac{c}$；
∴$\frac{a}•（-\frac{c}）=-\frac{^{2}}{ac}=-\frac{{c}^{2}-{a}^{2}}{ac}=-1$；
∴$\frac{c}{a}-\frac{a}{c}=1$，可設(shè)$\frac{c}{a}=e$，則：$e-\frac{1}{e}-1=\frac{{e}^{2}-e-1}{e}=0$；
∴e²-e-1=0；
解得$e=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$，或$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$（舍去）．
故答案為：$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 考查雙曲線漸近線的概念及求法，直線的點(diǎn)斜式方程，由點(diǎn)的坐標(biāo)求直線斜率的公式，以及相互垂直的直線的斜率的關(guān)系，雙曲線離心率的概念及計(jì)算公式，解一元二次方程．