Question

3．已知g（x）是定義在R上的奇函數(shù)，f（x）=g（x-$\frac{1}{2}$）+2，則f（sin²1°）+f（sin²2°）+…+f（sin²89°）=178．

Answer 1

分析 各項括號中的式子利用二倍角的余弦函數(shù)公式化簡，整理后根據(jù)f（x）=g（x-$\frac{1}{2}$）+2及g（x）是定義在R上的奇函數(shù)變形，計算即可求出值．

解答 解：∵f（x）=g（x-$\frac{1}{2}$）+2，且g（x）為奇函數(shù)，
∴f（sin²1°）+f（sin²2°）+…+f（sin²89°）
=f（$\frac{1-cos2°}{2}$）+f（$\frac{1-cos4°}{2}$）+…+f（$\frac{1-cos88°}{2}$）+f（$\frac{1-cos90°}{2}$）+…+f（$\frac{1-cos178°}{2}$）
=f（$\frac{1-cos2°}{2}$）+f（$\frac{1-cos4°}{2}$）+…+f（$\frac{1-cos88°}{2}$）+f（$\frac{1}{2}$）+…+f（$\frac{1+cos2°}{2}$）
=g（-$\frac{1}{2}$cos2°）+2+…+g（-$\frac{1}{2}$cos88°）+2+g（0）+…+g（$\frac{1}{2}$cos2°）+2
=-g（$\frac{1}{2}$cos2°）+2-…-g（$\frac{1}{2}$cos88°）+2+0+2+g（$\frac{1}{2}$cos88°）+2+…+g（$\frac{1}{2}$cos2°）+2
=2×89
=178．
故答案為：178

點評 此題考查了同角三角函數(shù)基本關(guān)系的運用，函數(shù)奇偶性的性質(zhì)，以及二倍角的余弦函數(shù)公式，熟練掌握基本關(guān)系及公式是解本題的關(guān)鍵．