Question

（1）解不等式|x-3|+|x-4|＜3；
（2）如果關(guān)于x的不等式|x-3|+|x-4|＜a的解集不是空集，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：絕對(duì)值不等式的解法

專題：不等式的解法及應(yīng)用,不等式

分析：（1）根據(jù)|x-3|+|x-4|表示數(shù)軸上的x對(duì)應(yīng)點(diǎn)到4和3對(duì)應(yīng)點(diǎn)的距離之和，而數(shù)軸上2和5對(duì)應(yīng)點(diǎn)到4和3對(duì)應(yīng)點(diǎn)的距離之和等于3，可得不等式的解集．
（2）令f（x）=|x-3|+|x-4|，可求得f（x）_min=1，從而可求得參數(shù)a的取值范圍．

解答： 解：（1）由絕對(duì)值的意義知，|x-3|+|x-4|表示數(shù)軸上的x對(duì)應(yīng)點(diǎn)到4和3對(duì)應(yīng)點(diǎn)的距離之和，其最小值等于1．
而數(shù)軸上3和5對(duì)應(yīng)點(diǎn)到4和3對(duì)應(yīng)點(diǎn)的距離之和等于3，
∴不等式|x-3|+|x-4|＜3的解集是（3，5），
（2）令f（x）=|x-3|+|x-4|，
由其幾何意義（數(shù)軸上距離坐標(biāo)為3的A點(diǎn)與坐標(biāo)為4的B點(diǎn)的兩點(diǎn)間的距離之和）可知，
當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P位于A，B之間時(shí)，f（x）_min=1，
∴要使關(guān)于x的不等式|x-3|+|x-4|＜a的解集不是空集，
須a＞1．
故a＞1．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查絕對(duì)值的意義，絕對(duì)值不等式的解法，判斷|x-3|+|x-4|表示數(shù)軸上的x對(duì)應(yīng)點(diǎn)到4和3對(duì)應(yīng)點(diǎn)的距離之和，是解題的關(guān)鍵．