Question

對于定義在區(qū)間[a，b]上的函數(shù)f（x），給出下列命題：
（1）若f（x）在多處取得極大值，那么f（x）的最大值一定是所有極大值中最大的一個值；
（2）若函數(shù)f（x）的極大值為m，極小值為n，那么m＞n；
（3）若x₀∈（a，b），在x₀左側(cè)附近f′（x）＜0，且f′（x₀）=0，則x₀是f（x）的極大值點；
（4）若f′（x）在[a，b]上恒為正，則f（x）在[a，b]上為增函數(shù)，
其中正確命題的序號是

 

．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：對于定義在區(qū)間[a，b]上的函數(shù)f（x），給出下列命題：
（1）若f（x）在多處取得極大值，那么f（x）的最大值不一定是所有極大值中最大的一個值，也可能是區(qū)間端點處的函數(shù)值；
（2）若函數(shù)f（x）的極大值為m，極小值為n，那么m＞n，m=n，m＜n都有可能；
（3）若x₀∈（a，b），在x₀左側(cè)附近f′（x）＜0，且f′（x₀）=0，還必須要求在x₀右側(cè)附近f′（x）＞0則x₀是f（x）的極大值點；
（4）利用閉區(qū)間上的導數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性的關系即可得出．

解答： 解：對于定義在區(qū)間[a，b]上的函數(shù)f（x），給出下列命題：
（1）若f（x）在多處取得極大值，那么f（x）的最大值不一定是所有極大值中最大的一個值，也可能是區(qū)間端點處的函數(shù)值，因此不正確；
（2）若函數(shù)f（x）的極大值為m，極小值為n，那么m＞n，m=n，m＜n都有可能，因此不正確；
（3）若x₀∈（a，b），在x₀左側(cè)附近f′（x）＜0，且f′（x₀）=0，還必須要求在x₀右側(cè)附近f′（x）＞0則x₀是f（x）的極大值點，因此不正確；
（4）若f′（x）在[a，b]上恒為正，則f（x）在[a，b]上為增函數(shù)，正確．
綜上可得：只有（4）正確．
故答案為：（4）．

點評：本題考查了閉區(qū)間上的導數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性的關系極值與最值的關系，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．