Question

19．已知$\overrightarrow m$=（$\sqrt{3}$sinx，2），$\overrightarrow n$=（2cosx，cos²x），f（x）=$\overrightarrow m•\overrightarrow n$．
（1）求f（x）的解析式及最小正周期
（2）求f（x）的單調(diào)增區(qū)間．

Answer 1

分析 （1）利用兩個向量的數(shù)量積公式，三角函數(shù)的恒等變換化簡f（x）的解析式，再利用三角函數(shù)的周期性，得出結(jié)論．
（2）根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性求得f（x）的單調(diào)增區(qū)間．

解答 解：（1）∵$\overrightarrow m=（\sqrt{3}sinx，2）$，$\overrightarrow n=（2cosx，{cos^2}x）$，∴f（x）=2$\sqrt{3}$sinxcosx+2cos²x=$\sqrt{3}$sin2x+cos2x+1=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+1，
∴f（x）的 最小正周期$T=\frac{2π}{2}=π$．
（2）由$2kπ-\frac{π}{2}≤2x+\frac{π}{6}≤2kπ+\frac{π}{2}$，求得$2kπ-\frac{2π}{3}≤2x≤2kπ+\frac{π}{3}$，∴$kπ-\frac{π}{3}≤x≤kπ+\frac{π}{6}$，
所以f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間$[kπ-\frac{π}{3}，kπ+\frac{π}{6}]$（k∈Z）．

點評 本題主要考查兩個向量的數(shù)量積公式，三角函數(shù)的恒等變換及化簡求值，三角函數(shù)的周期性和單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題．