Question

11．在斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面ABC是正三角形，E是AB中點，A₁E⊥平面ABC．
（I）證明：BC₁∥平面 A₁EC；
（II）若A₁A⊥A₁B，且AB=2．
①求點B到平面ACC₁A₁的距離；
②求直線CB₁與平面ACC₁A₁所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)線面平行的判定定理進(jìn)行證明即可．
（Ⅱ）根據(jù)點到平面的距離公式以及線面角的定義，結(jié)合三角形的邊角關(guān)系進(jìn)行求解．

解答 解：（I）證明：設(shè)AC₁與A₁C交于F點，連接EF，
∵E，F(xiàn)分別是線段AB，AC₁的中點，
∴EF∥BC₁，又EF?平面 A₁EC，BC₁?平面A₁EC
故 BC₁∥平面A₁EC，
（II）①在正三角形A BC中，過E作E H⊥AC于H，連接A₁H
顯然AC⊥平面A₁EH，
∵AC?平面ACC₁A₁
∴平面A₁EH⊥平面ACC₁A₁，且兩個平面的交線為A₁H
過E作EG⊥A₁H于G，則EG⊥平面ACC₁A₁
在Rt△AA₁B中，由已知易得A₁E=1，在正三角形ABC中，${E}{H}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$
則在Rt△A₁E H中，${E}G=\frac{{{{A}_1}{E}•{E}{H}}}{{\sqrt{{{A}_1}{{E}^2}+{E}{{H}^2}}}}=\frac{{\sqrt{21}}}{7}$
即點E到平面ACC₁A₁的距離為$\frac{{\sqrt{21}}}{7}$，
∵E是線段AB中點，
∴點B到平面ACC₁A₁的距離$d=2{E}G=\frac{{2\sqrt{21}}}{7}$，
②延長EB至R點，使EB=BR=1，連接RC，
∴B₁R∥A₁E，則B₁R⊥平面ARC，即有B₁R⊥RC
在△BRC中易得$RC=\sqrt{7}$，
∴${{B}_1}C=2\sqrt{2}$
設(shè)直線B₁C與平面ACC₁A₁所成角為φ
則$sinφ=\fracfrdou7j{{{{B}_1}C}}=\frac{{\sqrt{42}}}{14}$．

點評 本題考查直線平行的證明，考查點到平面的距離以及線面角的求法，利用相應(yīng)的判定定理以及線面角的定義進(jìn)行求解是解決本題的關(guān)鍵．考查學(xué)生的運算和推理能力．