Question

如圖，在四面體ABCD中，E，F(xiàn)分別為AB，CD的中點(diǎn)，過EF任作一個(gè)平面α分別與直線BC，AD相交于點(diǎn)G，H，有下列三個(gè)結(jié)論，其中正確的個(gè)數(shù)是（　�。�
①對(duì)于任意的平面α，都有直線GF，EH，BD相交于同一點(diǎn)；
②存在一個(gè)平面α₀，使得點(diǎn)G在線段BC上，點(diǎn)H在線段AD的延長(zhǎng)
線上；
③對(duì)于任意的平面α，它把三棱錐的體積分成相等的兩部分．

• A、0
• B、1
• C、2
• D、3

Answer 1

考點(diǎn)：棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：①取AD的中點(diǎn)H，BC的中點(diǎn)G，利用特殊值法即可判斷；
②不存在一個(gè)平面α₀，使得點(diǎn)G在線段BC上，點(diǎn)H在線段AD的延長(zhǎng)線上；
③對(duì)于任意的平面α，當(dāng)G，H在線段BC，AD上時(shí)，可以證明幾何體AC-EGFH的體積是四面體ABCD體積的一半．

解答： 解：①取AD的中點(diǎn)H，BC的中點(diǎn)G，則EGFH在一個(gè)平面內(nèi)，此時(shí)直線GF∥EH∥BD，因此不正確；
②不存在一個(gè)平面α₀，使得點(diǎn)G在線段BC上，點(diǎn)H在線段AD的延長(zhǎng)線上；
③對(duì)于任意的平面α，當(dāng)G，H在線段BC，AD上時(shí)，可以證明幾何體AC-EGFH的體積是四面體ABCD體積的一半，故③正確．
綜上可知：只有③正確．
故選：B

點(diǎn)評(píng)：本題考查了線面平行的判定與性質(zhì)、共面公理、三角形的中位線定理，考查了推理能力和空間想象能力，屬于難題．