Question

已知函數(shù)f（x）=

3

msinxcosx+mcos²x+n（m＞0）在區(qū)間[0，

π

4

]上的值域?yàn)閇1，2]．
（Ⅰ） 求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ） 在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為a，b，c，若f（A）=1，sinB=4sin（π-C），△ABC的面積為

3

，求邊長(zhǎng)a的值．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,余弦定理的應(yīng)用

專(zhuān)題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì),解三角形

分析：（Ⅰ）函數(shù)可化簡(jiǎn)為f（x）=msin(2x+

π

6

)+

m

2

+n，從而可根據(jù)其值域求出m，n的值，從而確定解析式，由正弦函數(shù)的性質(zhì)即可確定單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）f（A）=1即可求得A，由sinB=4sin（π-C），△ABC的面積為

3

，可求得bc=4，根據(jù)余弦定理即可求邊長(zhǎng)a的值．

解答： 解：（Ⅰ） f(x)=

3

msinxcosx+mcos2x+n=

3 m

2

sin2x+

m

2

(1+cos2x)+n=

m

2

(

3

sin2x+cos2x)+

m

2

+n=msin(2x+

π

6

)+

m

2

+n，
當(dāng)x∈[0，

π

4

]時(shí)，2x+

π

6

∈[

π

6

，

2π

3

]，則

1

2

≤sin(2x+

π

6

)≤1．
由m＞0，則

m 2 + m 2 +n=1 m+ m 2 +n=2

解得m=2，n=-1，
所以f(x)=2sin(2x+

π

6

)，
由2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

（k∈Z），
故函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

]，k∈Z．
（Ⅱ）由f(A)=2sin(2A+

π

6

)=1，即sin(2A+

π

6

)=

1

2

，所以A=

π

3

．
因?yàn)閟inB=4sin（π-C），所以sinB=4sinC，則b=4c，
又△ABC面積為

3

，所以S=

1

2

bcsin

π

3

=

3

，即bc=4，
所以b=4，c=1，則a2=42+12-2×4×1×cos

π

3

=13，
所以a=

13

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考察了余弦定理的應(yīng)用，三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用，三角形面積公式的應(yīng)用，屬于中檔題．