Question

12．如圖，正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F(xiàn)，H分別為A₁B₁，B₁C₁，CC₁的中點(diǎn)．
（Ⅰ）證明：BE⊥AH；
（Ⅱ）在棱D₁C₁上是否存在一點(diǎn)G，使得AG∥平面BEF？若存在，求出點(diǎn)G的位置；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，證明：$\overrightarrow{AH}•\overrightarrow{BE}=0$，即可證明BE⊥AH；
（Ⅱ）設(shè)G（0，t，1），求出平面BEF的法向量，利用AG∥平面BEF，可得結(jié)論．

解答 （Ⅰ）證明：建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系D-xyz，設(shè)AB=1，
則A（1，0，0），B（1，1，0），$E（{1，\frac{1}{2}，1}）$，$H（{0，1，\frac{1}{2}}）$，
∴$\overrightarrow{AH}=（{-1，1，\frac{1}{2}}）$，$\overrightarrow{BE}=（{0，-\frac{1}{2}，1}）$，∵$\overrightarrow{AH}•\overrightarrow{BE}=0$，∴BE⊥AH．
（Ⅱ）解：設(shè)G（0，t，1），則$\overrightarrow{AG}=（{-1，t，1}）$，$F（{\frac{1}{2}，1，1}）$，
設(shè)平面BEF的法向量為$\overrightarrow n=（{x，y，z}）$，∵$\overrightarrow{EF}=（{-\frac{1}{2}，\frac{1}{2}，0}）$，$\overrightarrow{BF}=（{-\frac{1}{2}，0，1}）$，∴$\left\{\begin{array}{l}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}y=0\\-\frac{1}{2}x+z=0\end{array}\right.$，令z=1得$\overrightarrow n=（{2，2，1}）$，
∵AG∥平面BEF，∴$\overrightarrow{AG}•\overrightarrow n$=（-1，t，1）•（2，2，1）=0，解得$t=\frac{1}{2}$，
∴當(dāng)G是D₁C₁的中點(diǎn)時(shí)，AG∥平面BEF．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線線垂直、線面平行的證明，考查向量知識(shí)的運(yùn)用，屬于中檔題．