Question

2．在平面直角坐標(biāo)系中，定義d（P，Q）=|x₁-x₂|+|y₁-y₂|為兩點(diǎn)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）之間的“折線距離”．則下列命題中：
①若A（-1，3），B（1，0），則有d（A，B）=5．
②到原點(diǎn)的“折線距離”等于1的所有點(diǎn)的集合是一個(gè)圓．
③若C點(diǎn)在線段AB上，則有d（A，C）+d（C，B）=d（A，B）．
④到M（-1，0），N（1，0）兩點(diǎn)的“折線距離”相等的點(diǎn)的軌跡是直線x=0．
真命題的個(gè)數(shù)為（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 先根據(jù)折線距離的定義分別表示出所求的集合，然后根據(jù)集合中絕對(duì)值的性質(zhì)進(jìn)行判定即可．

解答 解：若A（-1，3），B（1，0），則有d（A，B）=|-1-1|+|3-0|=5，故①正確；
到原點(diǎn)的“折線距離”等于1的點(diǎn)的集合{（x，y）||x|+|y|=1}，是一個(gè)正方形，故②錯(cuò)誤；
若點(diǎn)C在線段AB上，設(shè)C點(diǎn)坐標(biāo)為（x₀，y₀），x₀在x₁、x₂之間，y₀在y₁、y₂之間，
則d（A，C）+d（C，B）=|x₀-x₁|+|y₀-y₁|+|x₂-x₀|+|y₂-y₀|=|x₂-x₁|+|y₂-y₁|=d（A，B）成立，故③成立；
到M（-1，0），N（1，0）兩點(diǎn)的“折線距離”相等點(diǎn)的集合是{（x，y）||x+1|+|y|=|x-1|+|y|}，
由|x+1|=|x-1|，解得x=0，
∴到M（-1，0），N（1，0）兩點(diǎn)的“折線距離”相等的點(diǎn)的軌跡方程是x=0，即④正確；
綜上知，正確的命題為①③④，共3個(gè)．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了“折線距離”的定義，考查分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．