Question

8．設函數$f（x）=\frac{1}{3}{x^3}+a{x^2}+5x+6$在區(qū)間[1，3]上單調遞減，則實數a的取值范圍是（-∞，-3]．

Answer 1

分析 求導函數，f（x）在[1，3]上為單調函數，則f′（x）≤0在[1，3]上恒成立，利用分離參數法，借助于導數，確定函數的最值，即可求實數a的取值范圍．

解答 解：求導數可得：f′（x）=x²+2ax+5
∵f（x）在[1，3]上為單調遞減函數，
∴f′（x）≤0，
即x²+2ax+5≤0在[1，3]恒成立，
∴a≤-$\frac{{x}^{2}+5}{2x}$在[1，3]恒成立，
設g（x）=-$\frac{{x}^{2}+5}{2x}$，則g′（x）=$\frac{5{-x}^{2}}{{2x}^{2}}$，
令g′（x）=0得：x=$\sqrt{5}$或x=-$\sqrt{5}$（舍去）
∴當1≤x≤$\sqrt{5}$時，g′（x）≥0，當$\sqrt{5}$≤x≤3時，g′（x）≤0
∴g（x）在（1，$\sqrt{5}$）上遞增，在（$\sqrt{5}$，3）上遞減，
∵g（1）=-3 g（3）=-$\frac{7}{3}$，
∴最小值為g（1）=-3
∴當f′（x）≤0時，a≤g（x）≤g（1）=-3
∴a≤-3，
故答案為：（-∞，-3]．

點評 本題考查導數知識的運用，考查函數的單調性，考查函數的最值，分離參數，求函數的最值是關鍵．