Question

一個三棱柱ABC-A₁B₁C₁的直觀圖和三視圖如圖所示（主視圖、俯視圖都是矩形，左視圖是直角三角形），設(shè)E為線段AA₁上的點．
（1）求幾何體E-B₁C₁CB的體積；
（2）是否存在點E，使平面EBC⊥平面EB₁C₁，若存在，求AE的長．

Answer 1

分析：（1）說明三棱柱ABC-A₁B₁C₁是直三棱柱，B₁B⊥底面ABC，推出底面三角形是直角三角形，然后求出幾何體E-B₁C₁CB的體積．
（2）利用BE²=AB²+AE²=2，推出BE⊥B₁E，通過

B1C1 ⊥ A1B1 B1C1⊥B B1 A1B1∩ B B1=B1

，證明B₁C₁⊥平面AA₁B₁B，得到B₁C₁⊥BE，即可證明平面EBC⊥平面EB₁C₁．求出AE的長．

解答：解：（1）由題意可知，三棱柱ABC-A₁B₁C₁是直三棱柱，B₁B⊥底面ABC，
底面三角形是直角三角形，AB⊥BC，AB=1，BC=

3

，BB₁=2，
幾何體E-B₁C₁CB的體積為：V=

1

3

×1×

3

×2=

2 3

3

．
（2）∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁是直三棱柱，B₁B⊥底面ABC，
∴BE²=AB²+AE²=2，
∴B₁E²=A₁B₁²+A₁E²=2，
又BB₁=2，
∴BE²+B₁E²=BB₁²，
∴BE⊥B₁E，
又

B1C1 ⊥ A1B1 B1C1⊥B B1 A1B1∩ B B1=B1

⇒B₁C₁⊥平面AA₁B₁B，∴B₁C₁⊥BE，
由BE⊥B₁E，B₁C₁⊥BE，B₁E∩B₁C₁=B₁，得BE⊥平面EB₁C₁，
又BE?平面EBC，∴平面EBC⊥平面EB₁C₁．  …（12分）
∴AE=

BE2-AB2

=

2-1

=1．

點評：本小題主要考查空間線面關(guān)系，考查直線與平面，平面與平面垂直，幾何體的體積，考查空間想像能力和推理論證能力，考查計算能力．