Question

3．已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，A（1，2），點(diǎn)P的坐標(biāo)（x，y）滿足約束條件$\left\{\begin{array}{l}{x+|y|≤1}\\{x≥0}\end{array}\right.$，則z=$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OP}$的最大值為2．

Answer 1

分析 去絕對(duì)值號(hào)，便可將不等式組$\left\{\begin{array}{l}{x+|y|≤1}\\{x≥0}\end{array}\right.$變成$\left\{\begin{array}{l}{x+y≤1}\\{y≥0}\\{x≥0}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{x-y≤1}\\{y＜0}\\{x≥0}\end{array}\right.$，這樣即可畫(huà)出點(diǎn)P所在的平面區(qū)域，然后可求出z=x+2y，進(jìn)而得到$y=-\frac{1}{2}x+\frac{z}{2}$，該方程表示平行于$y=-\frac{1}{2}x$的一族平行直線，并且在y軸上的截距為$\frac{z}{2}$，從而得出截距最大時(shí)，z最大，這樣結(jié)合圖形即可找出直線過(guò)哪點(diǎn)時(shí)，截距最大，從而求出z的最大值．

解答 解：由不等式組$\left\{\begin{array}{l}{x+|y|≤1}\\{x≥0}\end{array}\right.$得，$\left\{\begin{array}{l}{x+y≤1}\\{y≥0}\\{x≥0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x-y≤1}\\{y＜0}\\{x≥0}\end{array}\right.$；
∴點(diǎn)P所在平面區(qū)域如下圖陰影部分所示：
$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OP}=x+2y$；
∴z=x+2y；
∴$y=-\frac{1}{2}x+\frac{z}{2}$，表示平行于$y=-\frac{1}{2}x$的一族平行直線，在y軸上的截距為$\frac{z}{2}$；
∴截距$\frac{z}{2}$最大時(shí)，z最大；
由圖看出，直線過(guò)點(diǎn)A₁（0，1）時(shí)，z最大，最大值為2．
故答案為：2．

點(diǎn)評(píng) 含絕對(duì)值不等式的處理方法：去絕對(duì)值號(hào)，能畫(huà)出二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域，能求直線在y軸上的截距，以及線性規(guī)劃的知識(shí)．