Question

求滿足下列關系式組的正整數(shù)解組的個數(shù)．

Answer 1

131

[解] 令，由條件知，方程化為
，即．      （1）
因，故，從而．
設．因此（1）化為
．                     （2）          
下分為奇偶討論，
（ⅰ）當為奇數(shù)時，由（2）知為奇數(shù)．
令，，代入（2）得
．     （3）
（3）式明顯無整數(shù)解．故當為奇數(shù)時，原方程無正整數(shù)解．             
（ⅱ）當為偶數(shù)時，設，由方程（2）知也為偶數(shù)．從而可設，代入（2）化簡得
．                     （4）
由（4）式有，故，從而可設，則（4）可化為，
．　　　　　　　　　　�。�5）
因為整數(shù)，故．                                 
又，因此
，得，
．
因此，對給定的，解的個數(shù)恰是滿足條件的的正因數(shù)的個數(shù)．因不是完全平方數(shù)，從而為的正因數(shù)的個數(shù)的一半．即．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
由題設條件，．而
25以內(nèi)有質數(shù)9個：2，3，5，7，11，13，17，19，23．將25以內(nèi)的數(shù)分為以下八組：：
，
，
，
，
，
，
，
，
從而易知

，
，
，
，
，
，
，
將以上數(shù)相加，共131個．因此解的個數(shù)共131．