Question

10．已知數(shù)列{a_n}的前n項和S_n=-n²+2n+1．
（1）求{a_n}的通項公式；
（2）若等差數(shù)列{a_n}的前n項和S_n=An²+Bn+C（A，B，C為常數(shù)），則常數(shù)A，B，C必滿足何條件？

Answer 1

分析 （1）利用“當n=1時，a₁=S₁；當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1”即可得出．
（2）根據(jù)當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1”求出數(shù)列的通項公式，結(jié)合等差數(shù)列的定義進行判斷即可．

解答 解：（1）當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=-n²+2n-1-[-（n-1）²+2（n-1）-1]=-2n+3，
當n=1時，a₁=S₁=-1+2+1=2，不適合上式，
∴數(shù)列{a_n}的通項公式a_n=$\left\{\begin{array}{l}{2，}&{n=1}\\{-2n+3，}&{n≥2}\end{array}\right.$．
（2）當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=（An²+Bn+C）-[A（n-1）²+B（n-1）+C]
=（Aa²+Bn）-（An²-2An+A+Bn-B）=2An-A+B．
當n=1時，a₁=S₁=A+B+C，
則當C=0時，a₁滿足a_n=2An-A+B，此時數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列．公差d-2A，
當C≠0時，a₁不滿足a_n=2An-A+B，此時數(shù)列{a_n}不為等差數(shù)列．

點評 本題考查數(shù)列{a_n}的通項公式與前n項和為S_n的關(guān)系式，熟練掌握“當n=1時，a₁=S₁；當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1”是解題的關(guān)鍵，注意驗證n=1時是否適合．