Question

20．已知函數(shù)y=acos（2x+$\frac{π}{3}$）+3，x∈[0，$\frac{π}{2}$]的最大值為4，求實(shí)數(shù)a的值．

Answer 1

分析 由條件利用余弦函數(shù)的定義域和值域，可得-1≤cos（2x+$\frac{π}{3}$）≤$\frac{1}{2}$．再分類討論，根據(jù)函數(shù)的最大值為4，求得實(shí)數(shù)a的值．

解答 解：∵x∈[0，$\frac{π}{2}$]，∴2x+$\frac{π}{3}$∈[$\frac{π}{3}$，$\frac{4π}{3}$]，
∴-1≤cos（2x+$\frac{π}{3}$）≤$\frac{1}{2}$．
當(dāng)a＞0，故當(dāng)cos（2x+$\frac{π}{3}$）=$\frac{1}{2}$時(shí)，y取得最大值$\frac{1}{2}$a+3．
∴$\frac{1}{2}$a+3=4，∴a=2．
當(dāng)a＜0，當(dāng)cos（2x+$\frac{π}{3}$）=-1 時(shí)，y取得最大值為-a+3=4，
∴a=-1，
綜上可知，實(shí)數(shù)a的值為2或-1．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查余弦函數(shù)的定義域和值域，余弦函數(shù)的單調(diào)性，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于基礎(chǔ)題．