Question

5．設(shè)F₁、F₂分別是橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的左右焦點，與直線y=b相切的⊙F₂交橢圓于點E，E恰好是直線EF₁與⊙F₂的切點．
（1）求該橢圓的離心率；
（2）若點E到橢圓的右準線的距離為$\frac{6\sqrt{5}}{5}$，過橢圓的上頂點A的直線與⊙F₂交于B、C兩點，且$\overrightarrow{AB}$=λ$\overrightarrow{AC}$，求λ的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由題設(shè)條件知EF₂=b，且EF₁⊥EF₂，由橢圓定義知EF₁+EF₂=2a．由勾股定理推導(dǎo)出4c²=（2a-b）²+b²．由此能求出橢圓的離心率，
（2）由（1）的結(jié)論，可知b、a的值，可得右焦點的坐標，進而可得圓的方程，結(jié)合題意$\overrightarrow{AB}$=λ$\overrightarrow{AC}$可得λ$\overrightarrow{AC}$²=5，分類討論λ的范圍，即可得答案．

解答 解：（1）根據(jù)題意，F(xiàn)₁、F₂分別是橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的左右焦點，與直線y=b相切的⊙F₂交橢圓于點E，
則EF₂=b，且EF₁⊥EF₂，
則（2a-b）²+b²=4（a²-b²），即2a=3b，
e²=$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$=1-$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{5}{9}$，
故橢圓的離心率e=$\frac{\sqrt{5}}{3}$；
（2）由橢圓的定義可得：b=$\frac{\sqrt{5}}{3}$×$\frac{6\sqrt{5}}{5}$=2，a=$\frac{3}{2}$b=3，
c=$\sqrt{9-4}$=$\sqrt{5}$，
則點F₂的坐標為（$\sqrt{5}$，0），
圓的方程為（x-$\sqrt{5}$）²+y²=4，
點A在圓外，且$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=5，故λ$\overrightarrow{AC}$²=5，
若λ＜1，則$\sqrt{5}$＜|$\overrightarrow{AC}$|≤5，此時$\frac{1}{5}$≤λ＜1，
若λ＞1，則1＜|$\overrightarrow{AC}$|≤$\sqrt{5}$，此時1≤λ＜$\sqrt{5}$．

點評 本題考查橢圓的性質(zhì)，涉及向量數(shù)量積的運算，關(guān)鍵還是要熟練掌握橢圓的相關(guān)性質(zhì)．