Question

7．如圖，已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1，（a＞b＞0），點(diǎn)B是其下頂點(diǎn)，直線x+3y+6=0與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在x軸下方），且線段AB的中點(diǎn)E在直線y=x上．
（I）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）若點(diǎn)P為橢圓C上異于A，B的動(dòng)點(diǎn)，且直線AP，BP分別交直線y=x于點(diǎn)M，N，證明：$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$為定值．

Answer 1

分析 （I）設(shè)A（x₁，y₁），B（0，-b），線段AB的中點(diǎn)E（x₀，x₀），x₀≠0．直線方程與橢圓方程聯(lián)立化為：（a²+9b²）x²+12a²x+36a²-9a²b²=0，
利用根與系數(shù)的關(guān)系、中點(diǎn)坐標(biāo)公式，及其x₀+3x₀+6=0，聯(lián)立解出即可得出．
（II）由（I）可得：A（-3，-1），B（0，-2）．設(shè)P（m，n），代入橢圓方程化為m²=12-3n²．直線AP，BP的方程分別為：y=$\frac{n+1}{m+3}$（x+3）-1，y=$\frac{n+2}{m}$x-2，分別與直線方程y=x聯(lián)立解得M，N．利用數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)即可得出．

解答 （I）解：設(shè)A（x₁，y₁），B（0，-b），線段AB的中點(diǎn)E（x₀，x₀），x₀≠0．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{x+3y+6=0}\\{\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1}\end{array}\right.$，化為：（a²+9b²）x²+12a²x+36a²-9a²b²=0，
∴x₁+0=$\frac{-12{a}^{2}}{{a}^{2}+9^{2}}$=2x₀，$\frac{36{a}^{2}-9{a}^{2}^{2}}{{a}^{2}+9^{2}}$=0，x₀+3x₀+6=0，
解得b²=4，a²=12，
∴橢圓C的方程為：$\frac{{x}^{2}}{12}+\frac{{y}^{2}}{4}$=1．
（II）證明：由（I）可得：A（-3，-1），B（0，-2）．
設(shè)P（m，n），可得$\frac{{m}^{2}}{12}+\frac{{n}^{2}}{4}$=1，化為m²=12-3n²．
則直線AP，BP的方程分別為：y=$\frac{n+1}{m+3}$（x+3）-1，y=$\frac{n+2}{m}$x-2，
分別與直線方程y=x聯(lián)立解得M$（\frac{3n-m}{m-n+2}，\frac{3n-m}{m-n+2}）$，N$（\frac{-2m}{m-n-2}，\frac{-2m}{m-n-2}）$．
∴$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$=$\frac{-2m（3n-m）}{（m-n）^{2}-4}$=$\frac{-6mn+2{m}^{2}}{{m}^{2}+{n}^{2}-2mn-4}$=$\frac{-6mn+2（12-3{n}^{2}）}{12-3{n}^{2}+{n}^{2}-2mn-4}$=$\frac{-6（{n}^{2}+mn-4）}{-2（{n}^{2}+mn-4）}$=3為定值．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問(wèn)題、中點(diǎn)坐標(biāo)公式、數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)，考查了分析問(wèn)題與解決問(wèn)題的能力、推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．