Question

已知P點是雙曲線上一點，F(xiàn)₁、F₂是它的左、右焦點，若|PF₂|=3|PF₁|，則雙曲線的離心率的取值范圍是（ ）
A．（1，2）
B．（2，+∞）
C．（1，2]
D．[2，+∞）

Answer 1

【答案】分析：先根據(jù)雙曲線定義可知|PF₂|-|PF₁|=2a進而根據(jù)|PF₂|=3|PF₁|，求得a=|PF₁|，同時利用三角形中兩邊之和大于第三邊的性質(zhì)，推斷出，|F₁F₂|＜|PF₁|+|PF₂|，進而求得a和c的不等式關(guān)系，分析當(dāng)p為雙曲線頂點時，=2且雙曲線離心率大于1，最后綜合答案可得．
解答：解根據(jù)雙曲線定義可知|PF₂|-|PF₁|=2a，即3|PF₁|-|PF₁|=2a．
∴a=|PF₁|．|PF₂|=3a
在△PF₁F₂中，|F₁F₂|＜|PF₁|+|PF₂|，
2c＜4|PF₁||，c＜2|PF₁|=2a，
∴＜2，
當(dāng)p為雙曲線頂點時，=2
又∵雙曲線e＞1，
∴1＜e≤2
故選C
點評：本題主要考查了雙曲線的簡單性質(zhì)，三角形邊與邊之間的關(guān)系．解題的時候一定要注意點P在橢圓頂點位置時的情況，以免遺漏答案．