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已知圓的方程為,過點作圓的兩條切線,切點分別為,直線恰好經過橢圓的右頂點和上頂點.

(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)設是橢圓垂直于軸的一條弦,所在直線的方程為是橢圓上異于、的任意一點,直線、分別交定直線于兩點,求證.

(Ⅰ)  (Ⅱ)聯(lián)立方程組表示出向量,再證.

解析試題分析:(Ⅰ) 觀察知,是圓的一條切線,切點為,
為圓心,根據圓的切線性質,,
所以, 所以直線的方程為.
軸相交于,依題意,所求橢圓的方程為 
(Ⅱ) 橢圓方程為,設
則有,
在直線的方程中,令,整理得
           ①
同理,     ②
②,并將代入得
 
===.
=   
,∴

考點:直線與圓錐曲線的關系;橢圓的標準方程.
點評:本題考查直線與圓錐曲線的位置關系,考查橢圓的標準方程,考查數形結合思想,考查學生的運算能力、分析問題解決問題的能力,難度較大.

練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數學 來源: 題型:解答題

已知拋物線C:與橢圓共焦點,

(Ⅰ)求的值和拋物線C的準線方程;
(Ⅱ)若P為拋物線C上位于軸下方的一點,直線是拋物線C在點P處的切線,問是否存在平行于的直線與拋物線C交于不同的兩點A,B,且使?若存在,求出直線的方程;若不存在,請說明理由.

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科目:高中數學 來源: 題型:解答題

如圖,在等腰直角中,,,點在線段上.

(Ⅰ) 若,求的長;
(Ⅱ)若點在線段上,且,問:當取何值時,的面積最。坎⑶蟪雒娣e的最小值.

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科目:高中數學 來源: 題型:解答題

分別求適合下列條件圓錐曲線的標準方程:
(1)焦點 為、且過點橢圓;
(2)與雙曲線有相同的漸近線,且過點的雙曲線.

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科目:高中數學 來源: 題型:解答題

已知橢圓的左、右焦點分別是,Q是橢圓外的動點,滿足.點是線段與該橢圓的交點,點T是的中點.

(Ⅰ)設為點的橫坐標,證明;
(Ⅱ)求點T的軌跡的方程.

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科目:高中數學 來源: 題型:解答題

已知中心在原點的橢圓C:的一個焦點為為橢圓C上一點,的面積為
(1)求橢圓C的方程;
(2)是否存在平行于OM的直線,使得直線與橢圓C相交于A,B兩點,且以線段AB為直徑的圓恰好經過原點?若存在,求出直線的方程;若不存在,請說明理由.

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科目:高中數學 來源: 題型:解答題

已知點是直線被橢圓所截得的線段中點,求直線的方程。

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科目:高中數學 來源: 題型:解答題

在平面直角坐標系中,以坐標原點為幾點,軸的正半軸為極軸建立極坐標系.已知直線上兩點的極坐標分別為,圓的參數方程(為參數).
(Ⅰ)設為線段的中點,求直線的平面直角坐標方程;
(Ⅱ)判斷直線與圓的位置關系.

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科目:高中數學 來源: 題型:解答題

如圖,過拋物線>0)的頂點作兩條互相垂直的弦OA、OB。

⑴設OA的斜率為k,試用k表示點A、B的坐標;
⑵求弦AB中點M的軌跡方程。

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