Question

已知點(diǎn)P(0,5)及圓C：x²＋y²＋4x－12y＋24＝0
（I）若直線(xiàn)l過(guò)點(diǎn)P且被圓C截得的線(xiàn)段長(zhǎng)為4，求l的方程；
（II）求過(guò)P點(diǎn)的圓C的弦的中點(diǎn)D的軌跡方程

Answer 1

（1）直線(xiàn)的方程為：或 （2） 

試題分析：（1）根據(jù)弦長(zhǎng)和半徑，可求出圓心到直線(xiàn)的距離為2 當(dāng)直線(xiàn)的斜率存在時(shí)，設(shè)所求直線(xiàn)的方程為：即 由點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式即可求出k的值，從而得直線(xiàn)的方程 然后再考慮斜率不存在時(shí)的情況  （2）設(shè)過(guò)點(diǎn)P的圓C的弦的中點(diǎn)為，則 即 由此等式即可得中點(diǎn)D的軌跡方程 這屬于利用等量關(guān)系求軌跡方程的問(wèn)題  
試題解析：（1）如圖所示，，設(shè)是線(xiàn)段的中點(diǎn)，則 
 點(diǎn)C的坐標(biāo)為（－2，6） 在中，可得 
設(shè)所求直線(xiàn)的方程為：即 
由點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式得： 
此時(shí)直線(xiàn)的方程為：               4分
又直線(xiàn)的斜率不存在時(shí)，也滿(mǎn)足題意，此時(shí)方程為： 
所以所求直線(xiàn)的方程為： 或          6分
（2）設(shè)過(guò)點(diǎn)P的圓C的弦的中點(diǎn)為，則 即 
所以化簡(jiǎn)得所求軌跡的方程為：    12分