Question

已知兩函數(shù)f（x）=7x²-28x-c，g（x）=2x³+4x²-40x．
（1）對任意x∈[-3，3]，都有f（x）≤g（x）成立，求實數(shù)c的取值范圍；
（2）存在x∈[-3，3]，使f（x）≤g（x）成立，求實數(shù)c的取值范圍；
（3）對任意x₁，x₂∈[-3，3]，都有f（x₁）≤g（x₂），求實數(shù)c的取值范圍．

Answer 1

考點：二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：構(gòu)造函數(shù)k（x）=f（x）-g（x）=-2x³+3x²+12x-c，x∈[-3，3]，
（1）求出k（x）的最大值k（x）_大≤0即可．
（2）求出k（x）的最大值k（x）_小≤0即可．
（3）運用算求出f（x）_大≤g（x）_小即可．

解答： 解：∵f（x）=7x²-28x-c，g（x）=2x³+4x²-40x．
k（x）=f（x）-g（x）=-2x³+3x²+12x-c，x∈[-3，3]，
k′（x）=-6x²+6x+12，
-6x²+6x+12=0，x=-1，x=2，
-6x²+6x+12＞0，-1＜x＜2
-6x²+6x+12＜0，x＜-1或x＞2，

x	[-3，-1）	-1	（-1，2）	2	（2，3]
y′	-	0	+	0	-
y	減	極小值	增	極大值	減

k（-3）=-63-c，k（3）=117-c，
k（-1）=-7-c，k（2）=20-c，
最大值為117-c，最小值-63-c，
（1）∵對任意x∈[-3，3]，都有f（x）≤g（x）成立，
∴117-c≤0，即c≥117，
（2）∵存在x∈[-3，3]，使f（x）≤g（x）成立，
∴-63-c≤0，
即c≥-63，
（3）f（x）=7x²-28x-c，g（x）=2x³+4x²-40x．
f（x）大=f（-3）=147-c，g′（x）=6x²+8x-40，
與用導(dǎo)數(shù)可求解得出g（x）_小=g（2）=-80，
∵對任意x₁，x₂∈[-3，3]，都有f（x₁）≤g（x₂），
∴147-c≤-80，
c≥227，

點評：本題綜合考查了不等式的恒成立問題，轉(zhuǎn)化為最大值，最小值的比較，關(guān)鍵是能分清任意與存在的區(qū)別與聯(lián)系，屬于難題．