Question

已知函數(shù)f（x）=ln（1+x）-ln（1-x），有如下結(jié)論：
①?x∈（-1，1），有f（-x）=f（x）；
②?x∈（-1，1），有f（-x）=-f（x）；
③?x₁，x₂∈（-1，1），有

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＞0；
④?x₁，x₂∈（0，1），有f（

x1+x2

2

）≤

f(x1)+f(x2)

2

．
其中正確結(jié)論的序號是

 

．（寫出所有正確結(jié)論的序號）

Answer 1

考點(diǎn)：對數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì),對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：函數(shù)f（x）是定義域（-1，1）上的奇函數(shù)，判斷①錯誤，②正確；
根據(jù)f（x）是定義域（-1，1）上的增函數(shù)，判斷③正確，
根據(jù)f（x）的圖象在（0，1）上是向下凹的增函數(shù)，判斷④正確．

解答： 解：∵函數(shù)f（x）=ln（1+x）-ln（1-x）=ln

1+x

1-x

，x∈（-1，1）；
∴?x∈（-1，1），有f（-x）=ln

1-x

1+x

=ln(

1+x

1-x

)-1=-ln

1+x

1-x

=-f（x）；
∴①錯誤，②正確；
又設(shè)x₁，x₂∈（-1，1），且x₁＜x₂，
則f（x₁）-f（x₂）=ln

1+x1

1-x1

-ln

1+x2

1-x2

=ln

(1+x1)(1-x2)

(1-x1)(1+x2)

，
∵1-x₁＞1-x₂＞0，1+x₂＞1+x₁＞0，
∴0＜

(1+x1)(1-x2)

(1-x1)(1+x2)

＜1，
∴l(xiāng)n

(1+x1)(1-x2)

(1-x1)(1+x2)

＜0，
∴f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）是定義域（-1，1）上的增函數(shù)，
即?x₁，x₂∈（-1，1），有

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＞0，③正確；
又f（x）=ln（1+x）-ln（1-x），
求導(dǎo)得：f′（x）=

1

1+x

+

1

1-x

=

1-x

1-x2

+

1+x

1-x2

=

2

1-x2

＞0，
設(shè)g（x）=

2

1-x2

，x∈（0，1），
再求導(dǎo)得：g′（x）=

4x

(1-x2)2

＞0，
∴f（x）是向下凹的增函數(shù)，
∴?x₁，x₂∈（0，1），有f（

x1+x2

2

）≤

f(x1)+f(x2)

2

，④正確．
綜上，正確結(jié)論的序號是②③④．
故答案為：②③④．

點(diǎn)評：本題考查了判斷函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性的應(yīng)用問題，也考查了導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用問題，是綜合性題目．