Question

如圖，AB是圓O的直徑，PA垂直于圓所在的平面，C是圓周上的點(diǎn)．
（1）求證：平面PAC⊥平面PBC；
（2）若AB=2

2

，AC=2，PA=2，求二面角C-PB-A的度數(shù)．

Answer 1

考點(diǎn)：與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題,平面與平面垂直的判定

專題：空間角

分析：（1）由圓的性質(zhì)得AC⊥BC，由線面垂直得PA⊥BC，從而BC⊥平面PAC，由此能證明平面PBC⊥平面PAC．
（2）連接CO，過(guò)O在平面PAB上作OM⊥PB于M，連接CM，∠OMC是二面角C-PB-A的平面角，由此能求出二面角C-PB-A的度數(shù)．

解答： （1）證明：由AB是圓O的直徑，得AC⊥BC，（1分）
由PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，得PA⊥BC，（3分）
又PA∩AC=A，∴BC⊥平面PAC，（4分）
又BC?平面PBC，
∴平面PBC⊥平面PAC．（6分）
（2）解：連接CO，∵AB=2

2

，
AC=2，∴BC=2，∴AB⊥OC，（8分）
過(guò)O在平面PAB上作OM⊥PB于M，連接CM，
由三垂線定理CM⊥PB，
∴∠OMC是二面角C-PB-A的平面角，（10分）
∵OC是圓半徑，∴OC=

2

，
由△BOM∽△BPA，得OM=

2

3

，
在Rt△OMC中，tan∠OMC=

OC

OM

=

3

，
∴∠OMC=60°．
∴二面角C-PB-A的度數(shù)為60°．（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查平面與平面垂直的證明，考查二面角的度數(shù)的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．