Question

四棱錐P-ABCD的底面是邊長為2的菱形，且∠BAD=60°，PA⊥平面ABCD，設E為BC的中點，二面角P-DE-A為45°．
（1）求點A到平面PDE的距離；
（2）在PA上確定一點F，使BF∥平面PDE；
（3）求異面直線PC與DE所成的角（用反三角函數表示）；
（4）求面PDE與面PAB所成的不大于直二面角的二面角的大�。ㄓ梅慈�角函數表示）．

Answer 1

考點：與二面角有關的立體幾何綜合題,異面直線及其所成的角,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關系與距離,空間角

分析：（1）要想求點到面的距離，必須過點找到底面的垂線，即AH⊥面PDE，那么AH為點A到平面PDE的距離，然后再求線段的長度即可．
（2）根據線面平行的判定定理可知，只有在面內找到一條線與已知直線平行，即BF∥EH，線線平行從而達到線面平行的目的．
（3）以A為原點，AD為x軸，AP為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出異面直線PC與DE所成的角．
（4）根據定義先作出二面角的平面角，即∠AOH為平面PDE與平面PAB二面角的平面角，然后解三角形即可得到角的大小．

解答： 解：（1）∵DE為正△BCD的中線，∴DE⊥BC，
∵AD∥BC，∴DE⊥AD，
又∵PA⊥平面ABCD且DE⊆面ABCD，∴DE⊥PD，
∴∠PDA為二面角P-DE-A的平面角
又∵∠PDA=45°且PA=AD， 作AH⊥PD于H，則DE⊥AH，
∴AH⊥平面PDE
又∵PA=AD=2，∴AH=

2

，
∴點A到平面PDE的距離為

2

．  
（2）取PA的中點為F，連接BF，HF
∵F，H分別是PA，PD的中點
∴在△PAD內，HF∥AD且HF=

1

2

AD，
又∵EB∥AD且EB=

1

2

AD，
∴EB∥HF且EB=HF，
∴四邊形FHEB為平行四邊形，
∴BF∥EH，且EH?面PDE，
BF不包含于面PDE，
∴BF∥平面PDE．
（3）以A為原點，AD為x軸，AP為z軸，建立空間直角坐標系，
則C（3，

3

，0），P（0，0，2），D（2，0，0），E（2，

3

，0），
∴

PC

=(3，

3

，0)，

DE

=(0，

3

，0)，
設異面直線PC與DE所成的角為θ，
cosθ=|cos＜

PC

，

DE

＞|=|

3

3 • 12

|=

1

2

，
∴異面直線PC與DE所成的角為arccos

1

2

．
（4）設AB∩DE=M，連PM，作HO⊥PM于O，連AO
∵AH⊥面PDM，且PM⊆面PDM，∴AH⊥PM
又∵HO⊥PM，∴PM⊥面AOH，且AO⊆面AOH，
∴PM⊥AO
∴∠AOH為所求二面角的平面角，
∵AO=

4 5

5

，∴sin∠AOH=

AH

AO

=

10

4

，即∠AOH=arcsin

10

4

，
故平面PDE與平面PAB所成的不大于直二面角的二面角的大小arcsin

10

4

．

點評：本題主要考查點到面的距離，線面平行的證明及異面直線所成的角和二面角大小的求法，有一定的難度．