Question

已知向量

OA

=（2，-3），

OB

=（-5，4），

OC

=（1-λ，3λ+2）．
（Ⅰ）若△ABC為直角三角形，且∠B為直角，求實(shí)數(shù)λ的值；
（Ⅱ）若點(diǎn)A、B、C能構(gòu)成三角形，求實(shí)數(shù)λ應(yīng)滿足的條件．

Answer 1

考點(diǎn)：向量在幾何中的應(yīng)用

專題：平面向量及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）由∠B是直角，得BA⊥BC，即

BA

•

BC

=0，據(jù)此可列出關(guān)于λ的方程，解之即可；
（Ⅱ）若三點(diǎn)是三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，則只需三點(diǎn)A、B、C不共線即可，求出共線時(shí)λ的范圍，然后取其補(bǔ)集就是所求．

解答： 解：（Ⅰ）因?yàn)椤鰽BC是直角三角形，且∠B=90°，
所以

BA

•

BC

=0，又因?yàn)?span id="zlf1tlt" class="MathJye">

OA

=（2，-3），

OB

=（-5，4），

OC

=（1-λ，3λ+2），
∴（

OA

-

OB

）•（

OC

-

OB

）=（7，-7）•（6-λ，3λ-2）=0
即8-4λ=0，解得λ=2．
（Ⅱ）若點(diǎn)A、B、C能構(gòu)成三角形，則A、B、C不共線，
∴向量

BA

與

BC

不共線，即-7（3λ-2）≠7（6-λ），
∴實(shí)數(shù)λ應(yīng)滿足條件λ≠-2．

點(diǎn)評(píng)：這是一道向量在研究幾何位置關(guān)系中的應(yīng)用，主要考查了利用數(shù)量積證垂直，利用向量共線證平行的思路，計(jì)算一定要準(zhǔn)確．