如圖，橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的上頂點(diǎn)為A，左原點(diǎn)為B，F(xiàn)為右焦點(diǎn)，離心率e=
2
2
，過F作平行于AB的直線交橢圓于C，D兩點(diǎn)，作平行四邊形OCED，求證：E在此橢圓上．
考點(diǎn)：橢圓的簡單性質(zhì)
專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程
分析：根據(jù)題意可知AB的斜率，進(jìn)而根據(jù)點(diǎn)斜式表示出直線CD的方程，代入橢圓方程，進(jìn)而可表示出CD的中點(diǎn)的坐標(biāo)，則E點(diǎn)的坐標(biāo)可得，代入橢圓方程即可證得結(jié)論．
解答： 證明：焦點(diǎn)為F（c，0），AB斜率為
b
a
，故CD的方程為y=
b
a
（x-c）．
與橢圓聯(lián)立后消去y，得2x2-2cx-b2=0，
∴xc+xd=c，
∴CD的中點(diǎn)為G（
c
2
，-
bc
2a
），
點(diǎn)E的坐標(biāo)為（c，-
bc
a
），
∵又離心率e=
2
2
，
∴E的坐標(biāo)為（c，-
2
2
b）
∴將E代入橢圓方程得：
c2
a2
+
1
2
b2
b2
=e2+
1
2
=
1
2
+
1
2
=1成立，
故E在此橢圓上．
點(diǎn)評：本題主要考查了橢圓的簡單性質(zhì)．考查了學(xué)生綜合運(yùn)用基礎(chǔ)知識(shí)的能力．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

若cos（
2π
3
-α）=
2
3
，則sin（
π
6
-α）=
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

函數(shù)f（x）=
2-x-1，x≤0
x
1
2
，x＞0
，若f（x0）＜1，則x0的取值范圍是
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

橢圓16x2+y2=4的焦點(diǎn)坐標(biāo)為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

將下列各根式寫成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式：
（1）
3
20
；（2）
2
4a3
；（3）
5(-1.2)3
；（4）
3
3
x2
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知向量
AB
=
a
+5
b
，
BC
=-2
a
+8
b
，
CD
=3（
a
-
b
），
（1）求證：A，B，D三點(diǎn)共線；
（2）求證：
CA
=x
CB
+y
CD
（其中x+y=1）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知（2cosα-sinα）（sinα+cosα+3）=0，則2cos2α+sin2α
1+tanα
=
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

若0≤θ＜2π，
a
=（cos
θ
2
，sin
θ
2
），
b
=（cos
θ
2
，-sin
θ
2
），且滿足
a
•
b
＜0，那么θ的取值范圍是（　�。�
A、（
π
4
，
3π
4
）
B、（
π
2
，π）
C、（
π
2
，
3π
2
）
D、（
3π
4
，
5π
4
）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

圓x2+y2=9的切線與x軸正半軸，y軸正半軸圍成一個(gè)△AOB，切點(diǎn)為P，
（1）當(dāng)|AB|最小時(shí)，求切線AB方程；
（2）若在x軸上存在異于點(diǎn)A的點(diǎn)M，在y軸上存在異于點(diǎn)B的點(diǎn)N，對圓x2+y2=9上任一點(diǎn)Q，有
|AQ|
|MQ|
與
|BQ|
|NQ|
都是常數(shù)，求證：直線OP與直線MN的傾斜角互補(bǔ)．

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