Question

圓x²+y²=9的切線與x軸正半軸，y軸正半軸圍成一個△AOB，切點為P，
（1）當(dāng)|AB|最小時，求切線AB方程；
（2）若在x軸上存在異于點A的點M，在y軸上存在異于點B的點N，對圓x²+y²=9上任一點Q，有

|AQ|

|MQ|

與

|BQ|

|NQ|

都是常數(shù)，求證：直線OP與直線MN的傾斜角互補．

Answer 1

考點：直線和圓的方程的應(yīng)用

專題：計算題,證明題,直線與圓

分析：（1）用截距式設(shè)出切線方程，由圓心到直線的距離等于半徑以及基本不等式可得ab=3

a2+b2

≤

a2+b2

2

，令t=

a2+b2

，可得t的最小值為6，此時a=b，即可得到切線方程；
（2）設(shè)出M，N，Q的坐標(biāo)，運用兩點的距離公式，列出等式，通過點Q的特殊點，求出M，N的坐標(biāo)，再求斜率，計算直線OP與直線MN的斜率之和即可得證．

解答： 解：（1）設(shè)切線方程為

x

a

+

y

b

=1（a＞0，b＞0），即 bx+ay-ab=0，
∵圓心（0，0）到直線的距離等于半徑得

|0+0-ab|

a2+b2

=3，
∴ab=3

a2+b2

≤

a2+b2

2

，
令t=

a2+b2

，則有t²-6t≥0，t≥6，
則t的最小值為6，即|AB|的最小值為6，
此時a=b=3

2

，即有切線AB的方程為：x+y-3

2

=0；
（2）證明：設(shè)P（m，n），則過P的切線方程為mx+ny=9，
即有A（

9

m

，0），B（0，

9

n

），
設(shè)M（s，0），N（0，t），Q（x，y），
則

|AQ|

|MQ|

=

(x- 9 m )2+y2

(x-s)2+y2

=c₁，
由于對圓x²+y²=9上任一點Q，有

|AQ|

|MQ|

與

|BQ|

|NQ|

都是常數(shù)，
則可令Q（0，0），（3，0），則有

9 m

|s|

=

3- 9 m

|3-s|

解得，s=

9

6-m

；
又

|BQ|

|NQ|

=

x2+(y- 9 n )2

x2+(y-t)2

=c₂，
可令Q（0，0），（0，3），則有

9 n

|t|

=

3- 9 n

(3-t|

，解得，t=

9

6-n

，
直線OP的斜率為

n

m

，
直線MN的斜率為-

6-n

6-m

，
當(dāng)m=n時，直線OP、MN的斜率互為相反數(shù)，
當(dāng)m+n=6時，直線OP、MN的斜率互為相反數(shù)，但m²+n²=9，聯(lián)立方程m+n=6，無解．
故在（1）的條件下，直線OP與直線MN的傾斜角互補．

點評：此題考查了直線與圓的位置關(guān)系，涉及的知識有：點到直線的距離公式，基本不等式的運用，直線的截距式方程，利用了換元的思想，同時考查圓的又一定義，考查直線的斜率的運用，考查推理判斷能力，屬于中檔題．