Question

橢圓M：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的離心率為

2

2

，且經(jīng)過點(diǎn)P（1，

2

2

）．過坐標(biāo)原點(diǎn)的直線l₁與l₂均不在坐標(biāo)軸上，l₁與橢圓M交于A，C兩點(diǎn)，l₂與橢圓M交于B，D兩點(diǎn)．
（1）求橢圓M的方程；
（2）若平行四邊形ABCD為菱形，求菱形ABCD面積的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）由已知條件列出方程組求出a²=2，b²=1，由此能求出橢圓C的方程．
（2）設(shè)直線AC：y=k₁x，直線BD：y=k₂x．聯(lián)立方程組推導(dǎo)出|OA|=|OC|=

1+k12

•

2 2k12+1

．|OB|=|OD|=

1+k22

•

2 2k22+1

，進(jìn)而求出菱形ABCD的面積S=2|OA|•|OB|，由此利用均值定理能求出菱形ABCD的面積最小值．

解答： 解：（1）∵橢圓M：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的離心率為

2

2

，
且經(jīng)過點(diǎn)P（1，

2

2

），
∴

a= 2 2 c 1 a2 + 9 4 b2 =1

，又∵a²=b²+c²，∴a²=2，b²=1，
∴橢圓C的方程為

x2

2

+y2=1．…（4分）
（2）設(shè)直線AC：y=k₁x，直線BD：y=k₂x．
聯(lián)立

x2 2 +y2=1 y=k1x

，得方程（2k 12+1）x²-2=0，
∴xA2=xc2=

2

2k12+1

，…（6分）
∴|OA|=|OC|=

1+k12

•

2 2k12+1

．
同理，|OB|=|OD|=

1+k22

•

2 2k22+1

．…（8分）
又∵AC⊥BD，∴|OB|=|OD|=

1+( 1 k1 )2

•

2 2( 1 k1 )2+1

，其中k₁≠0．
從而菱形ABCD的面積S為
S=2|OA|•|OB|=2

1+k12

•

2 2k12+1

•

1+( 1 k1 )2

•

2 2( 1 k1 )2+1

，
整理得S=4

1 2+ 1 (k1+ 1 k1 )2

≥

8

3

，其中k₁≠0．…（10分）
當(dāng)且僅當(dāng)

1

k1

=k1時(shí)取“=”，
∴當(dāng)k₁=1或k₁=-1時(shí)，…（11分）
菱形ABCD的面積最小，該最小值為

8

3

．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓方程的求法，考查菱形面積最小值的求法，解題時(shí)要注意直線與橢圓位置關(guān)系的綜合應(yīng)用，注意均值定理的合理運(yùn)用．