Question

已知函數(shù)f（x）=2

3

sin

x

2

cos

x

2

+2cos²

x

2

．
（1）求函數(shù)f（x）的對(duì)稱軸；
（2）已知f（α）=

13

5

，α∈（

π

2

，π）  求sin（2α+

7π

12

）的值．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用

專題：三角函數(shù)的求值

分析：對(duì)于（1），利用半角公式將函數(shù)和差化積，根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)求對(duì)稱軸．
對(duì)于（2），利用（1）把α+

π

6

當(dāng)作一個(gè)整體，把2α+

7π

12

表示出來(lái)即可．

解答： 解：f（x）=2

3

sin

x

2

cos

x

2

+2cos²

x

2

=

3

sinx+cosx+1=2sin（x+

π

6

）+1．
（1）令x+

π

6

=kπ+

π

2

，得x=kπ+

π

3

（k∈z）
∴直線x=kπ+

π

3

（k∈z）是函數(shù)的對(duì)稱軸．
（2）f（α）=

13

5

，得sin（α+

π

6

）=

4

5

，又∵α∈（

π

2

，π），∴α+

π

6

∈（

2π

3

，

7π

6

）
∴cos（α+

π

6

）=-

3

5

，∴sin（2α+

π

3

）=sin2（α+

π

6

）=2×

4

5

（-

3

5

）=-

24

25

，
cos（2α+

π

3

）=-

7

25

，
∴sin（2α+

7π

12

）=sin[（2α+

π

3

）+

π

4

]=（-

24

25

）

2

2

+（-

7

25

）

2

2

=-

31 2

50

點(diǎn)評(píng)：本題考查三角函數(shù)的恒等變換，巧妙使用拆角組角的技巧，屬于基礎(chǔ)題．