Question

9．某品牌電視機(jī)代理銷售商根據(jù)近年銷售和利潤(rùn)情況得出某種型號(hào)電視機(jī)的利潤(rùn)情況有如下規(guī)律：每臺(tái)電視機(jī)的最終銷售利潤(rùn)L（單位：元）與其無(wú)故障使用時(shí)間T（單位：年）滿足：L=$\left\{\begin{array}{l}0，T≤1\\ 100，1＜T＜3\\ 200，T≥3\end{array}$．設(shè)每臺(tái)該種電視機(jī)的無(wú)故障使用時(shí)間T≤1、1＜t＜3、T≥3三種情況發(fā)生的概率分別為P₁、P₂、P₃，已知P₁+P₂=$\frac{3}{5}$，P₂=P₃．
（Ⅰ）求P₁、P₂、P₃的值；
（Ⅱ）記X表示銷售兩臺(tái)這種電視機(jī)的銷售利潤(rùn)總和，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用概率的和為1，以及已知條件，即可求P₁、P₂、P₃的值；
（Ⅱ）記X表示銷售兩臺(tái)這種電視機(jī)的銷售利潤(rùn)總和，得到X的可能值，求出概率，列出X的分布列，即可求解數(shù)學(xué)期望．

解答 解：（I）∵P₁+P₂+P₃=1，由已知${P_1}+{P_2}=\frac{3}{5}$，P₂=P₃，
解得${P_1}=\frac{1}{5}$，${P_2}={P_3}=\frac{2}{5}$；…（4分）
（II）X的取值有0，100，200，300，400，…（6分）
$P（X=0）={P_1}{P_1}=\frac{1}{25}$，$P（X=100）={P_1}{P_2}+{P_2}{P_1}=\frac{4}{25}$，$P（X=200）={P_1}{P_3}+{P_3}{P_1}+{P_2}{P_2}=\frac{8}{25}$，$P（X=300）={P_2}{P_3}+{P_3}{P_2}=\frac{8}{25}$，$P（X=400）={P_3}{P_3}=\frac{4}{25}$，
所以X的分布列為：

X	0	100	200	300	400
P	$\frac{1}{25}$	$\frac{4}{25}$	$\frac{8}{25}$	$\frac{8}{25}$	$\frac{4}{25}$

數(shù)學(xué)期望$EX=0×\frac{1}{25}+100×\frac{4}{25}+200×\frac{8}{25}+300×\frac{8}{25}+400×\frac{4}{25}=240$．
…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列的求法，期望的求法，考查概率的應(yīng)用，基本知識(shí)的考查．