Question

 

    已知焦點(diǎn)在軸上的橢圓過點(diǎn)，且離心率為,為橢圓的左頂點(diǎn)．

    （Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

    （Ⅱ）已知過點(diǎn)的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)．

    （�。┤糁本�垂直于軸，求的大小;

    （ⅱ）若直線與軸不垂直，是否存在直線使得為等腰三角形？如果存在，求出直線的方程；如果不存在，請說明理由．

 

 

Answer 1

【答案】

 

（Ⅰ）設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，且．

由題意可知：，．         ………2分

所以．           

所以，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．  ………3分

（Ⅱ）由（Ⅰ）得．設(shè)．

（ⅰ）當(dāng)直線垂直于軸時，直線的方程為．

由 解得：或

即（不妨設(shè)點(diǎn)在軸上方）．…………5分

則直線的斜率，直線的斜率．

因?yàn)?，

所以 ．

所以 ．                …………6分

（ⅱ）當(dāng)直線與軸不垂直時，由題意可設(shè)直線的方程為．

由消去得：．

因?yàn)?點(diǎn)在橢圓的內(nèi)部，顯然．

               ……………8分

因?yàn)?，，，

所以

       

       

        ．

所以 ．                         

所以 為直角三角形．           ………………11分

（III）假設(shè)存在直線使得為等腰三角形，則．

取的中點(diǎn)，連接，則．

記點(diǎn)為．

另一方面，點(diǎn)的橫坐標(biāo)，

所以 點(diǎn)的縱坐標(biāo)．

所以

．

所以 與不垂直，矛盾．

所以 當(dāng)直線與軸不垂直時，不存在直線使得為等腰三角形．…………13分