已知焦點(diǎn)在軸上的橢圓
過點(diǎn)
,且離心率為
,
為橢圓
的左頂點(diǎn).
(Ⅰ)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(Ⅱ)已知過點(diǎn)的直線
與橢圓
交于
,
兩點(diǎn).
(。┤糁本垂直于
軸,求
的大小;
(ⅱ)若直線與
軸不垂直,是否存在直線
使得
為等腰三角形?如果存在,求出直線
的方程;如果不存在,請說明理由.
(Ⅰ)設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為
,且
.
由題意可知:,
. ………2分
所以.
所以,橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為
. ………3分
(Ⅱ)由(Ⅰ)得.設(shè)
.
(ⅰ)當(dāng)直線垂直于
軸時,直線
的方程為
.
由 解得:
或
即(不妨設(shè)點(diǎn)
在
軸上方).…………5分
則直線的斜率
,直線
的斜率
.
因?yàn)?,
所以 .
所以 .
…………6分
(ⅱ)當(dāng)直線與
軸不垂直時,由題意可設(shè)直線
的方程為
.
由消去
得:
.
因?yàn)?點(diǎn)在橢圓
的內(nèi)部,顯然
.
……………8分
因?yàn)?,
,
,
所以
.
所以 .
所以 為直角三角形.
………………11分
(III)假設(shè)存在直線
使得
為等腰三角形,則
.
取的中點(diǎn)
,連接
,則
.
記點(diǎn)為
.
另一方面,點(diǎn)的橫坐標(biāo)
,
所以 點(diǎn)的縱坐標(biāo)
.
所以
.
所以 與
不垂直,矛盾.
所以 當(dāng)直線與
軸不垂直時,不存在直線
使得
為等腰三角形.…………13分
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
(08年廈門外國語學(xué)校模擬)(12分)
已知焦點(diǎn)在軸上的橢圓
是它的兩個焦點(diǎn).
(Ⅰ)若橢圓上存在一點(diǎn)P,使得試求
的取值范圍;
(Ⅱ)若橢圓的離心率為,經(jīng)過右焦點(diǎn)
的直線
與橢圓相交于A、B兩點(diǎn),且
,求直線
的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2012-2013學(xué)年安徽省安慶市高三模擬考試(三模)理科數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題
已知焦點(diǎn)在軸上的橢圓
和雙曲線
的離心率互為倒數(shù),它們在第一象限交點(diǎn)的坐標(biāo)為
,設(shè)直線
(其中
為整數(shù)).
(1)試求橢圓和雙曲線
的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)若直線與橢圓
交于不同兩點(diǎn)
,與雙曲線
交于不同兩點(diǎn)
,問是否存在直線
,使得向量
,若存在,指出這樣的直線有多少條?若不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2014屆江西南昌八一、洪都、麻丘中學(xué)高二上期中數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:選擇題
已知焦點(diǎn)在軸上的橢圓的離心率為
,它的長軸長等于圓
的半徑,則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是( )
A.
B.
C.
D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2011-2012學(xué)年浙江省高三下學(xué)期2月月考理科數(shù)學(xué)試卷 題型:解答題
(本題滿分15分)已知焦點(diǎn)在軸上的橢圓
過點(diǎn)
,且離心率為
,
為橢圓
的左頂點(diǎn).
(Ⅰ)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(Ⅱ)已知過點(diǎn)的直線
與橢圓
交于
,
兩點(diǎn).
(。┤糁本垂直于
軸,求
的大小;
(ⅱ)若直線與
軸不垂直,是否存在直線
使得
為等腰三角形?如果存在,求出直線
的方程;如果不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2010年黑龍江省高二下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)(文) 題型:選擇題
1.
已知焦點(diǎn)在軸上的橢圓
的兩個焦點(diǎn)分別為
, 且
,弦
過焦點(diǎn)
,則
的周長為
A. B.
C.
D.
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