Question

【題目】已知過點(diǎn)，且與內(nèi)切，設(shè)的圓心的軌跡為，

（1）求軌跡C的方程；

（2）設(shè)直線不經(jīng)過點(diǎn)且與曲線交于點(diǎn)兩點(diǎn)，若直線與直線的斜率之積為，判斷直線是否過定點(diǎn)，若過定點(diǎn)，求出此定點(diǎn)的坐標(biāo)，若不過定點(diǎn)，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）過定點(diǎn)．

【解析】

（1）由題意結(jié)合圓的性質(zhì)可得，利用橢圓的定義即可得解；

（2）當(dāng)直線斜率不存在時，求出各點(diǎn)坐標(biāo)后即可得與軸的交點(diǎn)為；當(dāng)的斜率存在時，設(shè)l的方程為，聯(lián)立方程可得，，進(jìn)而可轉(zhuǎn)化條件，得出后即可得解.

（1）由題意過點(diǎn)，且與內(nèi)切，

易知點(diǎn)，半徑為，

設(shè)兩圓切點(diǎn)為，

所以，在中，，

所以，所以M的軌跡為橢圓，由橢圓定義可知，

所以，所以軌跡C的方程為；

（2）①當(dāng)的斜率不存在的時，設(shè)，所以，

所以，解得或（舍），

所以與軸的交點(diǎn)為；

②當(dāng)的斜率存在時，設(shè)l的方程為，

聯(lián)立消元可得，

，所以，

由韋達(dá)定理，，

則

，

又因?yàn)?/span>，所以，即，

所以，所以成立，

所以，當(dāng)時，，所以l過，

綜上所述，過定點(diǎn).