Question

6．已知函數(shù)f（x）=asin2x-cos²x+sin²x過點（$\frac{π}{6}$，1）．
（1）求a的值，并寫出f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）若α∈（0，$\frac{π}{2}$），β∈（0，$\frac{π}{2}$），f（$\frac{α+β}{2}$+$\frac{π}{3}$）=$\frac{6}{5}$，f（β+$\frac{π}{3}$）=$\frac{8}{5}$，求cos（α-β）的值．

Answer 1

分析 （1）將函數(shù)f（x）利用二倍角公式和輔助角公式化簡，將坐標點（$\frac{π}{6}$，1），求解a，可得解析式，再求解f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）根據(jù)f（$\frac{α+β}{2}$+$\frac{π}{3}$）=$\frac{6}{5}$，f（β+$\frac{π}{3}$）=$\frac{8}{5}$，求出α，β的關(guān)系式，利用α∈（0，$\frac{π}{2}$），β∈（0，$\frac{π}{2}$），結(jié)合和與差的公式構(gòu)造cos（α-β），即可求其值．

解答 解：函數(shù)f（x）=asin2x-cos²x+sin²x，
化簡可得：f（x）=asin2x-cos2x，
∵f（x）圖象過點（$\frac{π}{6}$，1）．
∴1=asin$\frac{π}{3}$-cos$\frac{π}{3}$，
即1=a×$\frac{\sqrt{3}}{2}$-$\frac{1}{2}$
可得：a=$\sqrt{3}$
那么：f（x）=$\sqrt{3}$sin2x-cos2x=2sin（2x-$\frac{π}{6}$）
由$2kπ-\frac{π}{2}≤2x-\frac{π}{6}≤2kπ+\frac{π}{2}$，k∈Z，
可得：$kπ-\frac{π}{6}$≤x≤$\frac{π}{3}+kπ$，
∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[$kπ-\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}+kπ$]，k∈Z，
（2）∵f（$\frac{α+β}{2}$+$\frac{π}{3}$）=$\frac{6}{5}$，f（β+$\frac{π}{3}$）=$\frac{8}{5}$，
可得：f（$\frac{α+β}{2}$+$\frac{π}{3}$）=2sin（$α+β+\frac{π}{2}$）=2cos（α+β）=$\frac{6}{5}$，
∴cos（α+β）=$\frac{3}{5}$
f（β+$\frac{π}{3}$）=2sin（$2β+\frac{π}{2}$）=2cos2β=$\frac{8}{5}$，
∴$cos2β=\frac{4}{5}$．
又∵α∈（0，$\frac{π}{2}$），β∈（0，$\frac{π}{2}$），
∴0＜α+β＜π，0＜2β＜π，
∴sin（α+β）=$\frac{4}{5}$，sin2β=$\frac{3}{5}$，
那么：cos（α-β）=cos[（α+β）-2β]=cos（α+β）cos2β+sin（α+β）sin2β=$\frac{24}{25}$．

點評 本題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，利用三角函數(shù)公式將函數(shù)進行化簡是解決本題的關(guān)鍵．考查了和與差的公式和構(gòu)造思想的運用．屬于中檔題．