Question

15．已知數(shù)列{a_n}的首項a₁=1，前n項和為S_n，且滿足（n+1）a_n=2S_n（n∈N^*）．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）設(shè)b_n=a_ncos（πa_n），求數(shù)列{b_n）的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）（n+1）a_n=2S_n，可得（n+2）a_n+1=2S_n+1．兩式相減，得（n+1）a_n=na_n+1，即$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=$\frac{n+1}{n}$．利用累乘求積方法即可得出．
（Ⅱ）解法1：b_n=a_ncos（πa_n）=ncosnπ=n（-1）ⁿ，利用錯位相減法即可得出．
解法2：b_n=a_ncos（πa_n）=ncosnπ=n（-1）ⁿ=$\left\{\begin{array}{l}{-n，n為奇數(shù)}\\{n，n為偶數(shù)}\end{array}\right.$．對n分類討論即可得出．

解答 解：（Ⅰ）∵（n+1）a_n=2S_n，∴（n+2）a_n+1=2S_n+1．
兩式相減，得（n+1）a_n=na_n+1，即$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=$\frac{n+1}{n}$．
∴a_n=$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}•\frac{{a}_{n-1}}{{a}_{n-2}}$•…•$\frac{{a}_{3}}{{a}_{2}}•\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}•{a}_{1}$
=$\frac{n}{n-1}•\frac{n-1}{n-2}$•…•$\frac{3}{2}•\frac{2}{1}$×1=n．
（Ⅱ）解法1：∵b_n=a_ncos（πa_n）=ncosnπ=n（-1）ⁿ，
∴T_n=1×（-1）+2×（-1）²+3×（-1）³+4×（-1）⁴+…+n×（-1）ⁿ，①
-T_n=1×（-1）²+2×（-1）³+3×（-1）⁴+4×（-1）⁵+…+n×（-1）ⁿ⁺¹．②
①-②，整理得
2T_n=-1+（-1）²+（-1）³+（-1）⁴+…+（-1）ⁿ-n（-1）ⁿ⁺¹=$\frac{-[1-（-1）^{n}]}{1-（-1）}$--n（-1）ⁿ⁺¹
∴T_n=$\frac{2n+1}{4}$（-1）ⁿ-$\frac{1}{4}$．
解法2：b_n=a_ncos（πa_n）=ncosnπ=n（-1）ⁿ=$\left\{\begin{array}{l}{-n，n為奇數(shù)}\\{n，n為偶數(shù)}\end{array}\right.$．
當(dāng)n為偶數(shù)時，T_n=-1+2-3+4-5+6…-（n-1）+n=$\frac{n}{2}$，
當(dāng)n為奇數(shù)時，T_n=-1+2-3+4-5+6-…+（n-1）-n=$\frac{n-1}{2}$-n=-$\frac{n+1}{2}$．
∴T_n=$\frac{2n+1}{4}$（-1）ⁿ-$\frac{1}{4}$．

點評 本題考查了累乘求積方法、數(shù)列遞推關(guān)系、等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式與求和公式、錯位相減法、分類討論方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．