Question

4．在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，CA=CB，側(cè)面ABB₁A₁是邊長為2的正方形，點E，F(xiàn)分別在線段AA_l，A₁B₁上，且AE=$\frac{1}{2}$，A₁F=$\frac{3}{4}$，CE⊥EF，M為AB中點
（ I）證明：EF⊥平面CME；
（Ⅱ）若CA⊥CB，求直線AC₁與平面CEF所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）推導(dǎo)出Rt△EAM∽Rt△FA₁E，從而EF⊥ME，又EF⊥CE，由此能證明EF⊥平面CEM．
（Ⅱ）設(shè)線段A₁B₁中點為N，連結(jié)MN，推導(dǎo)出MC，MA，MN兩兩垂直，建空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出直線AC₁與平面CEF所成角的正弦值．

解答 證明：（Ⅰ）在正方形ABB₁A₁中，A₁E=$\frac{3}{2}$，AM=1，
在Rt△EAM和Rt△FA₁E中，$\frac{AE}{{A}_{1}F}=\frac{AM}{{A}_{1}E}=\frac{3}{2}$，
又∠EAM=∠FA₁E=$\frac{π}{2}$，∴Rt△EAM∽Rt△FA₁E，
∴∠AEM=∠A₁FE，∴EF⊥EM，
又EF⊥CE，ME∩CE=E，∴EF⊥平面CEM．
解：（Ⅱ）在等腰三角形△CAB中，
∵CA⊥CB，AB=2，∴CA=CB=$\sqrt{2}$，且CM=1，
設(shè)線段A₁B₁中點為N，連結(jié)MN，由（Ⅰ）可證CM⊥平面ABB₁A₁，
∴MC，MA，MN兩兩垂直，
建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則C（1，0，0），E（0，1，$\frac{1}{2}$），F(xiàn)（0，$\frac{1}{4}$，2），A（0，1，0），C₁（1，0，2），
$\overrightarrow{CE}$=（-1，1，$\frac{1}{2}$），$\overrightarrow{EF}$=（0，-$\frac{3}{4}$，$\frac{3}{2}$），$\overrightarrow{A{C}_{1}}$=（1，-1，2），
設(shè)平面CEF的法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CE}=-x+y+\frac{1}{2}z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{EF}=-\frac{3}{4}y+\frac{3}{2}z=0}\end{array}\right.$，取z=2，得$\overrightarrow{n}$=（5，4，2），
設(shè)直線AC₁與平面CEF所成角為θ，
則sinθ=$\frac{|\overrightarrow{A{C}_{1}}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{A{C}_{1}}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{\sqrt{30}}{18}$，
∴直線AC₁與平面CEF所成角的正弦值為$\frac{\sqrt{30}}{18}$．

點評 本題考查線面垂直的證明，考查線面角的正弦值求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．