Question

12．如圖所示，我市某居民小區(qū)擬在邊長為1百米的正方形地塊ABCD上劃出一個三角形地塊APQ種植草坪，兩個三角形地塊PAB與QAD種植花卉，一個三角形地塊CPQ設計成水景噴泉，四周鋪設小路供居民平時休閑散步，點P在邊BC上，點Q在邊CD上，記∠PAB=a．
（1）當∠PAQ=$\frac{π}{4}$時，求花卉種植面積S關于a的函數(shù)表達式，并求S的最小值；
（2）考慮到小區(qū)道路的整體規(guī)劃，要求PB+DQ=PQ，請?zhí)骄俊螾AQ是否為定值，若是，求出此定值，若不是，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）由已知利用三角函數(shù)的定義可求PB=100tanα，DQ=100tan（$\frac{π}{4}$-α），利用三角形面積公式及三角函數(shù)恒等變換的應用化簡可求S_{花卉種植面積}=$\frac{5000}{\frac{\sqrt{2}}{2}sin（2α+\frac{π}{4}）+\frac{1}{2}}$，其中α∈[0，$\frac{π}{4}$]，利用正弦函數(shù)的性質可求最小值．
（2）設∠PAB=α，∠QAD=β，CP=x，CQ=y，則可求BP，DQ，利用兩角和的正切函數(shù)公式可求tan（α+β）=$\frac{20000-100（x+y）}{100（x+y）-xy}$，由題意PB+DQ=PQ，可求：x+y=100+$\frac{xy}{200}$，即可得解tan（α+β）=1，可求α+β=$\frac{π}{4}$，即可得解．

解答 （本題滿分為12分）
解：（1）∵邊長為1百米的正方形ABCD中，∠PAB=a，∠PAQ=$\frac{π}{4}$，
∴PB=100tanα，DQ=100tan（$\frac{π}{2}$-α-$\frac{π}{4}$）=100tan（$\frac{π}{4}$-α），
∴S_{花卉種植面積}=S_△ABP+S_△ADQ=$\frac{1}{2}AB•BP+\frac{1}{2}AD•DQ$=$\frac{1}{2}×$100×100tanα+$\frac{1}{2}×100×$100tan（$\frac{π}{4}$-α）
=$\frac{5000}{cosα（sinα+cosα）}$=$\frac{5000}{\frac{\sqrt{2}}{2}sin（2α+\frac{π}{4}）+\frac{1}{2}}$，其中α∈[0，$\frac{π}{4}$]，
∴當sin（2α+$\frac{π}{4}$）=1時，即θ=$\frac{π}{4}$時，S取得最小值為5000（2-$\sqrt{2}$）．…（8分）
（2）設∠PAB=α，∠QAD=β，CP=x，CQ=y，則BP=100-x，DQ=100-y，
在△ABP中，tanα=$\frac{100-x}{100}$，在△ADQ中，tanβ=$\frac{100-y}{100}$，
∴tan（α+β）=$\frac{tanα+tanβ}{1-tanαtanβ}$=$\frac{20000-100（x+y）}{100（x+y）-xy}$，
∵PB+DQ=PQ，
∴100-x+100-y=$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$，整理可得：x+y=100+$\frac{xy}{200}$，
∴tan（α+β）=$\frac{20000-100×（100+\frac{xy}{200}）}{100×（100+\frac{xy}{200}）-xy}$=$\frac{10000-\frac{xy}{2}}{10000-\frac{xy}{2}}$=1，
∴α+β=$\frac{π}{4}$，
∴∠PAQ是定值，且∠PAQ=$\frac{π}{4}$．-----------（12分）

點評 本題主要考查了三角函數(shù)的定義，三角形面積公式，三角函數(shù)恒等變換的應用，正弦函數(shù)的性質，兩角和的正切函數(shù)公式的綜合應用，考查了轉化思想和數(shù)形結合思想，屬于中檔題．