Question

已知直線l：x=-2，圓C：x²+y²=4，動圓P恒與l相切，動圓P與圓C相交于A、B兩點，且AB恒為圓C的直徑，動圓P圓心的軌跡構(gòu)成曲線E．
（1）求曲線E的軌跡方程；
（2）已知Q（-1，0）、F（1，0），過Q的直線m與曲線E交于M，N兩點，設(shè)直線FM，F(xiàn)N的傾斜角分別為θ₁，θ₂，問θ₁+θ₂是否為定值？

Answer 1

考點：軌跡方程,直線與圓錐曲線的關(guān)系

專題：計算題,圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）由題意，設(shè)點P（x，y），|x+2|²=（

x2+y2

）²+2²；從而得到曲線E的軌跡方程為y²=4x（x≠0）；
（2）設(shè)直線m的方程為y=k（x+1），與y²=4x（x≠0）聯(lián)立得，k²x²+（2k²-4）+k²=0；再設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）；從而可得則x₁+x₂=-

2k2-4

k2

，x₁x₂=1；且tanθ₁=k_FM=

y1

x1-1

，tanθ₂=k_FN=

y2

x2-1

；從而可證tan（θ₁+θ₂）=0，從而解得．

解答： 解：（1）由題意，設(shè)點P（x，y），
則點P到直線l的距離d=|x+2|=r，
|PC|=

x2+y2

；
|AC|=2；
則|x+2|²=（

x2+y2

）²+2²；
故曲線E的軌跡方程為y²=4x（x≠0）；
（2）設(shè)直線m的方程為y=k（x+1）；
與y²=4x（x≠0）聯(lián)立得，
k²x²+（2k²-4）+k²=0，
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）；
則x₁+x₂=-

2k2-4

k2

，x₁x₂=1；
則tanθ₁=k_FM=

y1

x1-1

，tanθ₂=k_FN=

y2

x2-1

；
則tan（θ₁+θ₂）=

tanθ1+tanθ2

1-tanθ1tanθ2

=

y1 x1-1 + y2 x2-1

1- y1y2 (x1-1)(x2-1)

=

y1(x2-1)+y2(x1-1)

(x1-1)(x2-1)-y1y2

；
其中y₁（x₂-1）+y₂（x₁-1）
=k（x₁+1）（x₂-1）+k（x₂+1）（x₁-1）
=k（x₁x₂-x₁+x₂-1+x₁x₂-x₂+x₁-1）
=k（2x₁x₂-2）
=k（2-2）=0；
故tan（θ₁+θ₂）=0，
又∵θ₁，θ₂是直線的傾斜角，
故θ₁+θ₂=π．

點評：本題考查了圓錐曲線與直線的位置關(guān)系的應(yīng)用，屬于中檔題．