Question

已知正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的所有棱長(zhǎng)都是2，M是BC邊的中點(diǎn)，在側(cè)棱CC₁上是否存在點(diǎn)N，使異面直線AB₁與MN所成的角為90°？如果存在，請(qǐng)指出

CN

CC1

的值．

Answer 1

考點(diǎn)：棱柱的結(jié)構(gòu)特征

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離

分析：以A為原點(diǎn)，以AB順時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°得到的直線為x軸，以AC為y軸，以AA₁為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)在側(cè)棱CC₁上是否存在點(diǎn)N（0，0，z），使得異面直線AB₁與MN所成角為90°，求出

AB1

=（1，

3

，0），

MN

=（-

3

2

，-

3

2

，z），利用異面直線AB₁與MN所成角為90°，可得-

3

2

-

3

2

+z=0，即可得出結(jié)論．

解答： 解：以A為原點(diǎn)，以AB順時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°得到的直線為x軸，以AC為y軸，以AA₁為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
∵在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，所有棱的長(zhǎng)度都是2，
∴A（0，0，0），B₁（1，

3

，0），M（

3

2

，

3

2

，0）
設(shè)在側(cè)棱CC₁上是否存在點(diǎn)N（0，0，z），使得異面直線AB₁與MN所成的角為90°，
∴

AB1

=（1，

3

，0），

MN

=（-

3

2

，-

3

2

，z）
∵異面直線AB₁與MN所成角為90°，
∴-

3

2

-

3

2

+z=0，
解得z=3，不合題意．
∴在側(cè)棱CC₁上是不存在點(diǎn)N，使異面直線AB₁與MN所成的角為90°．

點(diǎn)評(píng)：本題考查異面直線AB₁與MN所成的角，考查運(yùn)算求解能力，推理論證能力，有一定的探索性．