【題目】如圖,在四邊形ABED中,AB//DE,ABBE,點C在AB上,且ABCD,AC=BC=CD=2,現(xiàn)將△ACD沿CD折起,使點A到達點P的位置,且PE.
(1)求證:平面PBC 平面DEBC;
(2)求三棱錐P-EBC的體積.
【答案】(1)見解析; (2).
【解析】
(1)根據(jù)折疊前后關(guān)系得PC⊥CD,根據(jù)平幾知識得BE//CD,即得PC⊥BE,再利用線面垂直判定定理得EB⊥平面PBC,最后根據(jù)面面垂直判定定理得結(jié)論,(2)先根據(jù)線面垂直EB⊥平面PBC得高,再根據(jù)等積法以及三棱錐體積公式得結(jié)果.
(1)證明:∵AB⊥BE,AB⊥CD,∴BE//CD,
∵AC⊥CD,∴PC⊥CD,∴PC⊥BE,
又BC⊥BE,PC∩BC=C,
∴EB⊥平面PBC,
又∵EB平面DEBC,∴平面PBC 平面DEBC;
(2)解法1:∵AB//DE,結(jié)合CD//EB 得BE=CD=2,
由(1)知EB⊥平面PBC,∴EB⊥PB,由PE得,
∴△PBC為等邊三角形, ∴,
∴ .
解法2:∵AB//DE,結(jié)合CD//EB 得BE=CD=2,
由(1)知EB⊥平面PBC,∴EB⊥PB,由PE,
得, ∴△PBC為等邊三角形,
取BC的中點O,連結(jié)OP,則,∵PO⊥BC,∴PO⊥平面EBCD,
∴ .
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【題目】在平行四邊形中,,,.
(1)求點的坐標;
(2)過點的直線與平行四邊形圍成的區(qū)域(包括邊界)有公共點,求直線的傾斜角的取值范圍;
(3)對角線所在的直線與圓:沒有交點,求實數(shù)的取值范圍.
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【題目】在平面直線坐標系中,定義為兩點的“切比雪夫距離”,又設(shè)點P及上任意一點Q,稱的最小值為點P到直線的“切比雪夫距離”記作給出下列四個命題:( )
①對任意三點A、B、C,都有
②已知點P(3,1)和直線則
③到定點M的距離和到M的“切比雪夫距離”相等點的軌跡是正方形;
④定點動點滿足則點P的軌跡與直線(為常數(shù))有且僅有2個公共點。
其中真命題的個數(shù)是( )
A.4B.3C.2D.1
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【題目】在平面直角坐標系 xOy中,O為坐標原點,已知點,P是動點,且三角形POQ的三邊所在直線的斜率滿足.
(1)求點P的軌跡C的方程;
(2)過F作傾斜角為60°的直線L,交曲線C于A,B兩點,求△AOB的面積;
(3)過點任作兩條互相垂直的直線,分別交軌跡 C 于點A,B和M,N,設(shè)線段AB,MN的中點分別為E,F.,求證:直線EF恒過一定點.
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【題目】(1)已知直線l過點,它的一個方向向量為.
①求直線l的方程;
②一組直線,,,,,都與直線l平行,它們到直線l的距離依次為d,,,,,(),且直線恰好經(jīng)過原點,試用n表示d的關(guān)系式,并求出直線的方程(用n、i表示);
(2)在坐標平面上,是否存在一個含有無窮多條直線,,,,的直線簇,使它同時滿足以下三個條件:①點;②,其中是直線的斜率,和分別為直線在x軸和y軸上的截距;③.
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【題目】已知橢圓的左、右焦點分別為
(1)求以橢圓C的焦點為頂點,頂點為焦點的橢圓方程;
(2)過橢圓C的左焦點且傾斜角為的直線與橢圓交于A,B兩點,求的面積;
(3)過定點的直線交橢圓C于AB兩點,求弦AB中點P的軌跡方程.
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【題目】已知橢圓 的長軸長為4,焦距為
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)過動點的直線交軸與點,交于點 (在第一象限),且是線段的中點.過點作軸的垂線交于另一點,延長交于點.
(ⅰ)設(shè)直線的斜率分別為,證明為定值;
(ⅱ)求直線的斜率的最小值.
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【題目】如果你留心使會發(fā)現(xiàn),汽車前燈后的反射鏡呈拋物線的形狀,把拋物線沿它的對稱軸旋轉(zhuǎn)一周,就會形成一個拋物面.這種拋物面形狀,正是我們熟悉的汽車前燈的反射鏡形狀,這種形狀使車燈既能夠發(fā)出明亮的、照射很遠的平行光束,又能發(fā)出較暗的,照射近距離的光線.我們都知道常規(guī)的前照燈主要是由燈泡、反射鏡和透鏡三部分組成,明亮的光束,是由位于拋物面形狀反射鏡焦點的光源射出的,燈泡位于拋物面的焦點上,燈泡發(fā)出的光經(jīng)拋物面反射鏡反射形成平行光束,再經(jīng)過配光鏡的散射、偏轉(zhuǎn)作用,以達到照亮路面的效果,這樣的燈光我們通常稱為遠光燈:而較暗的光線,不是由反射鏡焦點的光源射出的,光線的行進與拋物線的對稱軸不平行,光線只能向上和向下照射,所以照射距離并不遠,如果把向上射出的光線遮住.車燈就只能發(fā)出向下的、射的很近的光線了.請用數(shù)學(xué)的語言歸納表達遠光燈的照明原理,并證明.
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