【題目】在平面直角坐標(biāo)系 xOy中,O為坐標(biāo)原點,已知點,P是動點,且三角形POQ的三邊所在直線的斜率滿足.

(1)求點P的軌跡C的方程;

(2)F作傾斜角為60°的直線L,交曲線CA,B兩點,求AOB的面積;

(3)過點任作兩條互相垂直的直線,分別交軌跡 C 于點A,BMN,設(shè)線段AB,MN的中點分別為E,F.,求證:直線EF恒過一定點.

【答案】(1);(2;(3)定點,理由見解析

【解析】

1)設(shè)點P的坐標(biāo),用已知點和P點坐標(biāo)表示出,,再代入等式,整理即得點P的軌跡C方程;(2)設(shè)A,B點的坐標(biāo),根據(jù)點F,可得直線L的方程,將L的方程和P的軌跡方程聯(lián)立,再由公式可得AOB的面積;(3)設(shè)點A,B的坐標(biāo)為,點E的坐標(biāo)為,設(shè)直線的方程為,將直線與曲線方程聯(lián)立,因為直線與曲線有兩個交點,則可用斜率k表示出點E,直線垂直,可知直線的斜率為,且過點D,則同理可得用k表示的F點坐標(biāo),根據(jù)點斜式可求出直線EF的方程,再根據(jù)方程特點可證.

1)設(shè)點P的坐標(biāo)為,則

,得,整理得點P的軌跡的方程為:

2)設(shè),由得:

,

3)證明:設(shè)點A,B的坐標(biāo)為,則點E的坐標(biāo)為.

由題意可設(shè)直線的方程為,

,消去y

,∵直線與拋物線交于AB兩點,

,

∴點E的坐標(biāo)為,由題知,直線的斜率為,同理可得F的坐標(biāo)為.

當(dāng)時,有.此時直線EF的斜率為:

∴直線EF的方程為,

整理得,恒過定點,當(dāng)時,直線EF的方程為,也過點.

綜上所述,直線EF恒過定點.

練習(xí)冊系列答案
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【題目】下列命題中正確命題的個數(shù)是( )

①命題“函數(shù)的最小值不為”是假命題;

②“”是“”的必要不充分條件;③若為假命題,則, 均為假命題;

④若命題,則;

A. B. C. D.

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【題目】某班主任對全班50名學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性和對待班級工作的態(tài)度進(jìn)行了調(diào)查,統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表所示:

分類

積極參加

班級工作

不太主動參

加班級工作

總計

學(xué)習(xí)積極性高

18

7

25

學(xué)習(xí)積極性一般

6

19

25

總計

24

26

50

(1)如果隨機(jī)抽查這個班的一名學(xué)生,那么抽到積極參加班級工作的學(xué)生的概率是多少?抽到不太主動參加班級工作且學(xué)習(xí)積極性一般的學(xué)生的概率是多少?

(2)試運(yùn)用獨(dú)立性檢驗的思想方法分析:學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性與對待班級工作的態(tài)度是否有關(guān),并說明理由.

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【題目】已知橢圓的左、右焦點為F1,F2,離心率為,且點在橢圓上.

1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;

2)若直線l過點M0,﹣2)且與橢圓C相交于AB兩點,且OABO為坐標(biāo)原點)的面積為,求出直線l的方程.

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【題目】已知橢圓的短軸長為,離心率為,過右焦點的直線與橢圓交于不同兩點,.線段的垂直平分線交軸于點.

(1)求橢圓的方程;

(2)求的取值范圍.

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【題目】如圖,在四邊形ABED中,AB//DE,ABBE,點C在AB上,且ABCD,AC=BC=CD=2,現(xiàn)將△ACD沿CD折起,使點A到達(dá)點P的位置,且PE.

(1)求證:平面PBC 平面DEBC;

(2)求三棱錐P-EBC的體積.

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【題目】以原點O為極點,x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,已知曲線C的極坐標(biāo)方程為,a為常數(shù))),過點、傾斜角為的直線的參數(shù)方程滿足,(為參數(shù)).

(1)求曲線C的普通方程和直線的參數(shù)方程;

(2)若直線與曲線C相交于A、B兩點(點P在A、B之間),且,求的值.

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【題目】我國的“洋垃極禁止入境”政策已實施一年多某沿海地區(qū)的海岸線為一段圓弧AB,對應(yīng)的圓心角,該地區(qū)為打擊洋垃圾走私,在海岸線外側(cè)20海里內(nèi)的海域ABCD對不明船只進(jìn)行識別查證如圖:其中海域與陸地近似看作在同一平面內(nèi)在圓弧的兩端點A,B分別建有監(jiān)測站,A與B之間的直線距離為100海里.

求海域ABCD的面積;

現(xiàn)海上P點處有一艘不明船只,在A點測得其距A點40海里,在B點測得其距B點海里判斷這艘不明船只是否進(jìn)入了海域ABCD?請說明理由.

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【題目】已知函數(shù).

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